[論文レビュー] Lie groups over non-discrete topological fields

Helge Glöckner|ArXiv.org|Aug 1, 2004

advanced mathematical theories参考文献 31被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、非離散位相的体への無限次元リー群理論の一般化を試み、連続逆代数、写像群、テスト関数群、微分同相群を用いて、任意のこのような体上のリー群を構成する枠組みを確立する。主な貢献は、コンパクト台付き $ C^k $-写像が、空間のコンパクト台付き滑らか-section 間でほぼ局所的かつコンパクト台付きであれば $ C^k $-滑らかであることを示す滑らかさ定理であり、これにより古典的なリー群構成法が実数および複素数の設定を超えて拡張可能となる。

ABSTRACT

We generalize the classical construction principles of infinite-dimensional real (and complex) Lie groups to the case of Lie groups over non-discrete topological fields. In particular, we discuss linear Lie groups, mapping groups, test function groups, diffeomorphism groups, and weak direct products of Lie groups. The specific tools of differential calculus required for the Lie group constructions are developed. Notably, we establish differentiability properties of composition and evaluation, as well as exponential laws for function spaces. We also present techniques to deal with the subtle differentiability and continuity properties of non-linear mappings between spaces of test functions. Most of the results are independent of any specific properties of the topological vector spaces involved; in particular, we can deal with real and complex Lie groups modeled on non-locally convex spaces.

研究の動機と目的

• 従来、実数および複素数のリー群に限られていた無限次元リー群の古典的理論を、実数および複素数を超えて任意の非離散位相的体へ拡張すること。
• 非局所凸位相線形空間上でのリー群の構成を可能にする、非離散位相的体上での微分積分法の枠組みを構築すること。
• テスト関数空間および滑らか-section 空間間の非線形写像が微分可能となる条件、特にほぼ局所的およびパッチワーク構造に注目して確立すること。
• 線形群、写像群、微分同相群、弱直積といった、リー群の主要な構成法を、実数および複素数のケースを超えて任意の非離散位相的体へ一般化すること。
• 一貫性のある $ C^k $-微分積分法を用いて、$ p $-進および非アルキメデス的設定を含む局所体上のリー理論の基盤を提供すること。

提案手法

• ミハル＝バスタニおよびケラーの枠組みを一般化し、公理的アプローチを用いて非離散位相的体上での $ C^k $-微分積分法を構築する。
• 「パッチワーク型」位相線形空間および制限写像のパッチワーク族の概念を導入し、局所的から大域的への微分可能性を扱う。
• ある点における値がその点での入力のジェルムにのみ依存する「ほぼ局所的」写像の概念を用い、関数空間における非線形的挙動を制御する。
• 評価写像および合成写像の滑らかさを分析するため、指数法則および合成写像の技法を用いる。
• 滑らかさ定理（定理 F.30）を確立し、写像がコンパクト台付き部分空間上で $ C^k $ であり、かつ局所的にほぼ局所的であれば、大域的にも $ C^k $ であることを示す。
• ボックス位相を用いた直和による位相的埋め込みを用い、大域的微分可能性を局所的パッチワイズ微分可能性に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所凸空間でない場合でも、非離散位相的体上のコンパクト台付き滑らか-section 空間間の非線形写像が、どのような条件下で $ C^k $-滑らかであるか。
• RQ2 非アルキメデス的および非局所凸位相的体上の関数空間に対して、古典的な指数法則および合成写像の定理をどのように一般化できるか。
• RQ3 連続逆代数の理論を非離散位相的体へ拡張し、非局所凸空間上にモデル化されたリー群を構成できるか。
• RQ4 関数空間間のほぼ局所的写像は、その局所的制限からどの程度微分可能性を継承するか。
• RQ5 その制限がコンパクト台付き部分空間上で滑らかであれば、テスト関数空間間の写像が滑らかであるための条件は何か。

主な発見

• 滑らかさ定理（定理 F.30）により、写像 $ f: P \to C^s_c(N, E_2) $ が局所的にほぼ局所的であり、各コンパクト台付き部分空間への制限が $ C^k $ であれば、大域的にも $ C^k $-滑らかであることが保証され、局所的データから大域的微分可能性を導ける。
• 非離散位相的体上の $ C^r $-写像空間間の合成写像および評価写像は、適切な位相的条件下で $ C^k $-滑らかであることが示された。
• この理論により、非局所凸空間上にモデル化されたリー群を、任意の非離散位相的体、特に $ p $-進および局所体上でも構成可能である。
• パッチワーク族による制限写像の使用により、大域的微分可能性を相対的にコンパクトな開集合上での局所的微分可能性に還元でき、非線形写像の解析を容易にする。
• ボックス位相を用いた直和構成により、関数空間を微分可能性をパッチワイズにテストできる積空間に埋め込むことが可能である。
• この枠組みにより、局所体上の有限次元パラコンパクト多様体 $ M $ に対して、微分同相群 $ \mathrm{Diff}^r(M) $ および $ \mathrm{Diff}^\infty(M) $ の構成が可能となり、実数の場合の一般化が達成された。