[論文レビュー] Lie local subgroupoids and their monodromy

Ronald Brown, İlhan Içen|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 1998

Advanced Topics in Algebra被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、局所同値関係の一般化として、Lie局所部分群倉を導入し、層論的およびトポス論的概念を微分幾何学へと拡張する。特定のLie局所部分群倉に対してホロノミー群倉とモノドロミー群倉を確立し、滑らかな多様体における局所対称性とその大域的不変量を研究する幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The notion of local equivalence relation on a topological space is generalised to that of local subgroupoid. Properties of coherence are considered. The main result is notions of holonomy and monodromy groupoid for certain Lie local subgroupoids. Introduction The notion of local equivalence relation was introduced by Grothendieck and Verdier [9] in a series of exercises presented as open problems concerning the construction of a certain kind of topos. It was investigated further by Rosenthal [15, 16] and more recently by Kock and Moerdijk [11, 12]. A local equivalence relation is a global section of the sheaf E defined by the presheaf E where E(U) is the set of all equivalence relations on the open subsets U of X , and EUV is the restriction map from E(U) to E(V ) for V ` U . The main aims of the papers [9, 11, 12, 15, 16] are towards the connections with sheaf theory and topos theory. An equivalence relation on a set U is just a wide subgroupoid of the indiscrete groupoid U \\Theta U...

研究の動機と目的

• 局所同値関係の概念をLie局所部分群倉へ一般化し、層およびトポス理論におけるそれらの役割を滑らかな幾何的設定へ拡張すること。
• 重なり合う領域にわたる構造的一致性を保証するため、局所部分群倉の整合性条件を調査すること。
• 特定のクラスのLie局所部分群倉に対してホロノミー群倉とモノドロミー群倉を定義・分析し、局所から大域への対称性の挙動を捉えること。
• 群倉論的道具を用いて、滑らかな多様体における局所対称性の大域的不変量を理解するための幾何的枠組みを確立すること。

提案手法

• 位相空間の開集合U上のペア群倉U × Uの広い部分群倉として、局所同値関係を局所部分群倉へ一般化する。
• 重なり合う開集合間での整合性を保証するため、層の公理に類似した局所部分群倉の整合性条件を定義する。
• 基本群倉を制限して、局所対称性データに限定した商としてホロノミー群倉を構成する。
• パスに依存する変換を捉えるために、局所対称性の芽の群倉としてモノドロミー群倉を定義する。
• Lie群倉構造を用いて滑らかさと微分幾何学との整合性を保証する。特に多様体の文脈で有効である。
• 元来局所同値関係のために開発された層理論およびトポス理論の技法を、Lie局所部分群倉という新しい設定に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、部分群倉を用いて局所同値関係の概念をLie理論的設定へ一般化できるか？
• RQ2 重なり合う領域にわたる一貫性ある大域的挙動を保証するため、局所部分群倉が満たすべき整合性条件は何か？
• RQ3 Lie局所部分群倉に対してホロノミー群倉とモノドロミー群倉をどのように定義できるか。それらはどのような幾何的情報を符号化するか？
• RQ4 モノドロミー群倉と滑らかな多様体における局所対称性の大域的構造との関係は何か？
• RQ5 これらの構成は、層理論およびトポス理論の古典的結果を微分幾何学へどのように拡張するか？

主な発見

• 本稿は、局所同値関係をLie局所部分群倉へ一般化することに成功し、以前のトポス論的構成の滑らかで幾何的に意味のある拡張を提供する。
• 局所部分群倉のための整合性条件が定式化され、重なり合う開集合間での局所的対称性の整合性が保証される。
• ホロノミー群倉は、基本群倉の商として構成され、局所部分群倉構造に含まれるパスに依存する対称性変換を符号化する。
• モノドロミー群倉は、局所対称性の芽の群倉として定義され、局所変換の大域的挙動を捉える。
• 構成がLie群倉構造と整合することが示され、微分幾何学および多様体上の幾何的構造への応用が可能になる。
• フレームワークにより、ファイブレーション理論およびゲージ理論における古典的概念の拡張として、モノドロミーとホロノミーの新しい幾何的解釈が得られる。