[論文レビュー] Lie monads and dualities

Isar Goyvaerts, Joost Vercruysse|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2013

Advanced Topics in Algebra被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、加法的モノイダル圏におけるLie代数およびコールgebraの圏論的一般化としてLieモノイドとLieコモノイドを導入し、無限次元設定における双対性理論を可能にする。強い双対性がLie代数とLieコールgebraの間に対応するとき、それらに付随するLieモノイドとコモノイドの同型に正確に対応することを確立し、Takeuchi双対性を介してホップ代数や原始的・分解不能元への応用がなされる。

ABSTRACT

We study dualities between Lie algebras and Lie coalgebras, and their respective (co)representations. To allow a study of dualities in an infinite-dimensional setting, we introduce the notions of Lie monads and Lie comonads, as special cases of YB-Lie algebras and YB-Lie coalgebras in additive monoidal categories. We show that (strong) dualities between Lie algebras and Lie coalgebras are closely related to (iso)morphisms between associated Lie monads and Lie comonads. In the case of a duality between two Hopf algebras -in the sense of Takeuchi- we recover a duality between a Lie algebra and a Lie coalgebra -in the sense defined in this note- by computing the primitive and the indecomposables elements, respectively.

研究の動機と目的

• 有限次元にとどまらない設定におけるLie代数とLieコールgebraの双対性理論を拡張すること。
• 加法的モノイダル圏におけるYang-Baxter-Lie代数およびコールgebraの特別な場合としてLieモノイドとコモノイドを定義すること。
• Lie (コ)代数の双対性とそれらに付随する (コ)モノイドの同型の間の対応を確立すること。
• ホップ代数における原始的元と分解不能元の間の既知の双対性を、新しい圏論的枠組みの中で回復すること。
• 強い双対性のもとで、誘導されたモノイド-コモノイド同型を通じて、モジュール圏とコモジュール圏が同値となることを示すこと。

提案手法

• 対称性を要件としないLie代数の一般化として、加法的モノイダル圏におけるYang-Baxter-Lie代数（YB-Lie代数）を導入すること。
• Lieコールgebra $C$ に対して、$\mathrm{Hom}(C, -)$ の形のLieコモノイドと、$-\otimes L$ の形のLieモノイドを、対象のねじれから得られる局所的対称性を用いて構成すること。
• 閉じたモノイダル圏におけるYB-Lie代数 $L$ とYB-Lieコールgebra $C$ 間の双対性を、適合条件を満たす自然変換によって定義すること。
• 関連するLieモノイド $-\otimes L$ とコモノイド $\mathrm{Hom}(C, -)$ 間の準同型が、それらの (コ)モジュール圏の間の函手を誘導することを示すこと。
• 誘導函手 $\underline{\sf Ind}$ と評価写像 $\mathrm{ev}$ を用いて、ホップ代数のモジュール圏とその原始的および分解不能元のLieモジュール圏を関連付けること。
• Takeuchi対 $(H,K,\Diamond)$ に対して、$\mathrm{Mod}(H)$, $\mathrm{LieMod}(P(H))$, $\mathrm{CoMod}(K)$, $\mathrm{LieCoMod}(Q(K))$ 間の函手の図式が可換であることを示し、強い双対性のもとで圏的同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元でない設定において、有限双対 $L^\circ$ が不十分となる無限次元設定に、Lie代数とLieコールgebraの双対性をどのように一般化できるか？
• RQ2 特にbraidingが存在する非対称モノイダル圏において、Lie代数およびコールgebraを一般化する圏的構造は何か？
• RQ3 LieモノイドとLieコモノイドの同型は、それらに由来するLie (コ)代数の双対性とどのように対応するか？
• RQ4 ホップ代数の原始的元とその双対における分解不能元の双対性は、このモノイド的枠組みの中で回復可能か？
• RQ5 双対ホップ代数のモジュール圏とコモジュール圏が、誘導されたモノイド-コモノイド同型を通じて同値となる条件は何か？

主な発見

• 加法的モノイダル圏におけるYB-Lie代数と、$-\otimes L$ の形のLieモノイドの間には一対一対応が存在し、YB-Lie代数上のLieモジュールは、関連するLieモノイドのEilenberg-Moore圏に同値である。
• YB-Lie代数 $L$ とYB-Lieコールgebra $C$ 間に強い双対性が存在するための必要十分条件は、関連するLieモノイドの準同型 $-\otimes L \to \mathrm{Hom}(C, -)$ が同型であることである。
• モノイド-コモノイド準同型が同型であるとき、$L$ と $C$ の (コ)モジュール圏は同値となり、圏論的双対性が確立される。
• Takeuchi対 $(H,K,\Diamond)$ に対して、$\mathrm{Mod}(H)$, $\mathrm{LieMod}(P(H))$, $\mathrm{CoMod}(K)$, $\mathrm{LieCoMod}(Q(K))$ 間の誘導函手の図式は可換であり、双対性枠組みの整合性が確認される。
• braidedホップ代数 $H$ の原始的元 $P(H)$ はYB-Lie代数をなし、分解不能元 $Q(H)$ はYB-Lieコールgebraをなし、それらの双対性は評価写像によって誘導される。
• Michaelis対 $(P(H^\circ), Q(H), \mathrm{ev})$ は常に強いものであり、$P(H^\circ) \cong Q(H)^*$ が成り立つ。これは、古典的双対性結果を圏論的文脈に一般化したものである。