[論文レビュー] Lie n-groupoids and stacky Lie groupoids

Chenchang Zhu|ArXiv.org|Sep 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、高次ホモトピー群が2次元を超えて自明であるようなリー2-群コホーショングループイド（simplicial manifolds）と、微分可能スタック上の内部群コホーショングループイド（stacky Lie groupoids, SLie groupoids）との間に1対1対応を確立する。この対応はモーラ・同値を用いて構成され、高次カテゴリカル構造を記述するためのカン条件およびモーラ・バイバンドルを用いる。さらに、SLie群コホーショングループイドにおける逆写像が、一般化された高次群コホーショングループイドにおける逆の概念を一般化する、標準的なモーラ・バイバンドル $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ を通じて同値に定義可能であることを示している。

ABSTRACT

We discuss two sorts of generalization of Lie groupoids. One is Lie $n$-groupoids defined as simplicial manifolds with trivial $π_{k\geq n+1}$. The other is the stacky Lie groupoid $\cG ra M$ with $\cG$ a differentiable stack. We build 1-1 correspondence between Lie 2-groupoids and stacky Lie groupoids up to a certain Morita equivalence. Equivalences of these higher groupoids are described.

研究の動機と目的

• リー群コホーショングループイドを、高次カテゴリカル構造へ一般化するため、高次ホモトピー群が $n$ 次元を超えて自明であるようなsimplicial manifoldsとしてのリー $n$-群コホーショングループイドを定義する。
• 微分可能スタック上の内部群コホーショングループイドとしてスタック的リー群コホーショングループイド（SLie groupoids）を定義し、非可積分なリー代数束の統合を可能にする。
• モーラ・同値に関して、リー2-群コホーショングループイドとSLie群コホーショングループイドとの間の1対1対応を確立し、リー代数束理論における非可積分性の問題を解決する。
• SLie群コホーショングループイドにおける逆写像が、提示における群コホーショングループイド同型を要件としない、標準的なモーラ・バイバンドル $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ を通じて同値に定義可能であることを示す。

提案手法

• リー $n$-群コホーショングループイドを、$m < n$ に対してカン条件 $Kan(m,j)$ と一意性条件 $Kan!(m,j)$ を満たすsimplicial manifoldsとして定義し、$n$ 次元までにすべての高次合成が存在し一意であることを保証する。
• 高次群コホーショングループイドをモデル化するため、simplicial sets と manifolds を用い、$n$-単体を $n$-準同型とみなす。面・退化写像は、源、標的、合成作用を記述する。
• モーラ・バイバンドルと良いチャートを用いて、$X_2 \rightrightarrows X_1 \to X_0$ の形をしたsimplicial manifold を構成し、リー2-群コホーショングループイドを構成する。この構成により、カン条件が満たされることを保証する。
• リー2-群コホーショングループイドからSLie群コホーショングループイドを構成する際、群コホーショングループイドのナーヴェを用いてスタック $\mathcal{G}$ を定義し、モーラ同値とバイバンドル同型を用いてスタック的群コホーショングループイドの公理を満たすことを証明する。
• 両方向の構成が同値に関して逆であることを示し、モーラ同値性を証明する。その際、$E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ が $G$ から $G^{op}$ へのモーラ・バイバンドルであることを用いる。
• モーラ・バイバンドルを用いて、SLie群コホーショングループイドにおける逆写像を記述し、そのようなバイバンドルの存在が、適切に定義された逆1-準同型の存在を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー $n$-群コホーショングループイドは、$n$ 次元を超えてホモトピー群が自明であるようなsimplicial manifoldsとして定義可能であり、高次リー理論の自然な枠組みを提供するか？
• RQ2 スタック的リー群コホーショングループイド（SLie群コホーショングループイド）は、非可積分なリー代数束を統合するためにどのように用いられ、古典的リー群コホーショングループイドとどのような関係にあるか？
• RQ3 モーラ同値に関して、リー2-群コホーショングループイドとSLie群コホーショングループイドとの間に1対1対応が存在するか？また、その構成方法は何か？
• RQ4 SLie群コホーショングループイドにおける逆写像が、提示における群コホーショングループイド同型を要件としない、モーラ・バイバンドルのみを通じて定義可能か？
• RQ5 バイバンドル $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ がモーラ同値であるための条件は何か？また、これは逆の存在性とどのように関係するか？

主な発見

• モーラ同値に関して、リー2-群コホーショングループイドとスタック的リー群コホーショングループイドとの間の1対1対応が確立され、任意のリー2-群コホーショングループイドがスタック的リー群コホーショングループイドから、逆に任意のスタック的リー群コホーショングループイドからもリー2-群コホーショングループイドが得られることを示している。
• SLie群コホーショングループイドにおける逆写像は、$G$ から $G^{op}$ へのモーラ・バイバンドル $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ の存在と同値であり、群コホーショングループイド同型を要件としない逆1-準同型を記述する。
• バイバンドル $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ は自然に逆の2-恒等式公理を満たし、その主性（principality）により逆構成の一意性が保証される。
• バイバンドル $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ を通じた逆の構成は、標準的であり、追加の選択に依存しない。これは、群コホーショングループイドにおける古典的逆写像の一般化である。
• 本稿では、SLie群コホーショングループイドにおける逆写像が、群コホーショングループイド同型 $i: G \to G$ によって与えられるのは、$E_m \times_{J_r, G_0, e} M$ が $G_0$ 上の自明な右 $G$-主バンドルであるとき、かつそのときに限りそうであることを示している。
• リー2-群コホーショングループイドとSLie群コホーショングループイドとの間の対応は1-モーラ同値に関して安定しており、両方向の構成はこの同値に関して互いに逆である。