[論文レビュー] Lie rackoids integrating Courant algebroids

Camille Laurent-Gengoux, Friedrich Wagemann|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Dorfman括弧の自己同型から導かれるラック積を用いて、コンパクト多様体 $M$ 上の標準的Courant代数群 $\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ を統合する、無限次元のLieラックオイド $Y = \mathcal{C}^\infty([0,1], T^*M)$ を導入する。主な貢献は、$Y$ を適切な同値関係で割った商が、可積分Dirac構造を統合するWeinsteinLie群ガロワを与え、ラックオイド積が経路への双方向作用を回復することを示したことである。

ABSTRACT

We construct an infinite dimensional Lie rackoid Y which hosts an integration of the standard Courant algebroid. As a set, Y = C $\infty$ ([0, 1], T * M) for a compact manifold M. The rackoid product is by automorphisms of the Dorfman bracket. The first part of the article is a study of the Lie rackoid Y and its tangent Leibniz algebroid a quotient of which is the standard Courant algebroid. In a second part, we study the equivalence relation related to the quotient on the rackoid level and restrict then to an integrable Dirac structure. We show how our integrating object contains the corresponding integrating Weinstein Lie groupoid in the case where the Dirac structure is given by a Poisson structure.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体 $M$ に対して、$\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ 上の標準的Courant代数群を統合する、具体的にはLieラックオイドというグローバル微分幾何的対象を構成すること。
• 従来の重み付き微分幾何の手法に起因する制限を克服し、自然に可積分Dirac構造を統合するWeinsteinLie群ガロワを回復するフレームワークを提供すること。
• $Y$ 上のラックオイド構造、Dorfman括弧の自己同型、および商上の群ガロワ構造との間の関係を明確にすること。

提案手法

• Lieラックオイド $Y$ は、余接 bundle $T^*M$ 内の滑らかな経路の空間として定義され、区間 $[0,1]$ の端点における評価によって、源写像と終点写像が与えられる。
• 双方向 $\Sigma = (\phi_t, \eta_t)$ 上のラック積は、微分同相写像 $\phi_1$ と閉2次形式 $d\beta_\Sigma$ の作用によって定義され、ここで $\beta_\Sigma = \int_0^1 \phi_s^*\eta_s \, ds$ であり、Dorfman括弧構造を保存する。
• Y の接レイブニッツ代数群が、標準的Courant代数群に同型な商を許容することを示し、微小な整合性を確立する。
• Y 上に同値関係 $\sim$ を定義し、これはFréchetの葉層に対応し、Dirac構造を保存する双方向の作用に関して同値となる経路を特定する。
• Dirac構造 $D \subset \mathbb{T}M$ に対して、$D$ 内に存在する経路からなる部分対象 $Y_D \subset Y$ を定義し、商 $Y_D / \sim$ がLie群ガロワ構造を有することを示す。
• Y_D / \sim 上のラックオイド積が、Dirac構造を統合するLie群ガロワにおける双方向の随伴作用と一致することを証明し、ラックオイド構成が古典的統合理論にリンクしていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Courant代数群はLie代数群ではないため、古典的統合手法に適さないが、グローバル微分幾何的対象（特にLieラックオイド）を構成することで、標準的Courant代数群を統合できるか？
• RQ2 Y 上のラックオイド構造は、可積分Dirac構造に対してWeinsteinLie群ガロワをどのように回復できるか？
• RQ3 Y の双方向上のラックオイド積と、Dirac構造を統合するLie群ガロワにおける双方向の随伴作用との間の明確な関係は何か？
• RQ4 Lieラックオイド $Y$ を同値関係 $\sim$ で割った商は、その単位元における接空間がCourant代数群と一致する多様体構造を持つだろうか？

主な発見

• Dorfman括弧の自己同型から導かれる滑らかなラック積を持つ、無限次元Lieラックオイド $Y = \mathcal{C}^\infty([0,1], T^*M)$ が構成された。
• Y の接レイブニッツ代数群は、$\mathbb{T}M$ 上の標準的Courant代数群に同型な商を許容し、微小な整合性が確認された。
• Y 上の同値関係 $\sim$ はFréchetの葉層を誘導し、商 $Y / \sim$ は適切な接空間を有する多様体構造を有することが示された。
• 可積分Dirac構造 $D$ に対して、$D$ 内の経路からなる部分対象 $Y_D \subset Y$ は、$D$ が可積分であることと同値にコイシトロピックであることが示され、$Y_D / \sim$ は $D$ を統合するWeinsteinLie群ガロワである。
• Y_D / \sim 上のラックオイド積は、双方向の随伴作用と一致し、ラックオイド構造が群ガロワ構造を回復することを確立した。