[論文レビュー] Lie-Semigroup Structures for Reachability and Control of Open Quantum Systems: Viewing Markovian Quantum Channels as Lie Semigroups and GKS-Lindblad Generators as Lie Wedge

Gunther Dirr, Uwe Helmke+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 59被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、開きたいずれかの量子系に対して、リー・半群フレームワークを確立し、コサコフスキー＝リンブレート生成子が半群のリー・ウェッジとして特定され、可分性とマークフィアン動的特性を結びつける。これにより、到達可能集合や可制御性の特徴付けが可能となり、閉じた系における最適制御が十分である場合と、高精度制御に開いた系固有のパラメータが必要となる場合を明らかにする。

ABSTRACT

In view of controlling finite dimensional open quantum systems, we provide a unified Lie-semigroup framework describing the structure of completely positive trace-preserving maps. It allows (i) to identify the Kossakowski-Lindblad generators as the Lie wedge of a subsemigroup, (ii) to link properties of Lie semigroups such as divisibility with Markov properties of quantum channels, and (iii) to characterise reachable sets and controllability in open systems. We elucidate when time-optimal controls derived for the analogous closed system already give good fidelities in open systems and when a more detailed knowledge of the open system (e.g., in terms of the parameters of its Kossakowski-Lindblad master equation) is actually required for state-of-the-art optimal-control algorithms. -- As an outlook, we sketch the structure of a new, potentially more efficient numerical approach explicitly making use of the corresponding Lie wedge.

研究の動機と目的

• リー・半群理論を用いて、開いた量子系における完全に正のトレース保存写像の記述を統一すること。
• コサコフスキー＝リンブレート生成子が、マークフィアン量子チャネルのリー半群のリー・ウェッジを形成することを確立すること。
• リー半群の可分性と、量子系のマークフィアン性との関係を結びつけること。
• リー理論的道具を用いて、開いた量子系における到達可能集合と可制御性を特徴付けること。
• 閉じた系で得られた時間最適制御が、開いた系においても有効である条件と、開いた系固有のパラメータが必要となる条件を特定すること。

提案手法

• マークフィアン量子チャネルを、コサコフスキー＝リンブレート生成子によって生成されるリー半群としてモデル化する。
• コサコフスキー＝リンブレート生成子を半群のリー・ウェッジとして特定し、幾何的解析を可能にする。
• 不変錐体や半群の可分性といったリー理論的概念を用いて、動的特性を分析する。
• 制約付き状態空間における最適制御問題を解くために、リーマン多様体上の勾配フロー法を適用する。
• リー・ウェッジの代数的構造を活用して、数値的に効率的な制御アルゴリズムを設計する。
• 現実のノイズとデコherenceを想定した条件下で、閉じた系最適制御と開いた系最適化制御の性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コサコフスキー＝リンブレート生成子は、どのようにしてリー半群の量子チャネルのリー・ウェッジとして解釈できるか？
• RQ2 リー半群における可分性と、開いた量子系の動的特性のマークフィアン性との関係は何か？
• RQ3 閉じた系で得られた時間最適制御が、開いた系において高精度を達成する条件は何か？
• RQ4 リー・半群構造は、開いた量子系における最適制御アルゴリズムの効率向上にどのように利用できるか？
• RQ5 不変錐体と半群構造は、開いた量子系における到達可能集合の特徴付けに、どのような役割を果たすか？

主な発見

• コサコフスキー＝リンブレート生成子が、形式的にマークフィアン量子チャネルのリー半群のリー・ウェッジとして特定された。
• 半群の可分性は、量子系のマークフィアン性に対応し、時間局所的進化の幾何的特徴付けを可能にする。
• 開いた量子系における到達可能集合は、半群のリー理論的構造とその関連するリー・ウェッジを用いて特徴付けられる。
• 閉じた系で導出された時間最適制御が、開いた系において高精度を達成するのは、デコherenceが弱いか、良好にモデル化されている場合に限る。
• ノイズの強い開いた系において高精度制御を達成するためには、コサコフスキー＝リンブレートマスター方程式のパラメータを明示的に知ることが不可欠である。
• リー・ウェッジ構造を活用する新しい数値的手法が提案され、開いた量子系の最適制御における効率改善が期待される。