[論文レビュー] Lie subalgebras of the Weyl algebra. Lie algebras of order 3 and their application to cubic supersymmetry

Adrian Tanasă|ArXiv.org|Sep 22, 2005

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Weyl代数 𝒜₁ の有限次元リー部分代数を分類し、立方超対称性への応用を示すために、リー代数の一般化としての3次リー代数を導入する。このような部分代数の分類定理を確立し、3次リー代数の基本的構造の表現および変形を構成し、Weyl代数の枠組みを通じて立方超対称性と関連付ける。

ABSTRACT

In the first part we present the Weyl algebra and our results concerning its finite-dimensional Lie subalgebras. The second part is devoted to a more exotic algebraic structure, the Lie algebra of order 3. We set the basis of a theory of deformations and contractions of these algebraic structures. We then concentrate on a particular such Lie algebra of order 3 which extends in a non-trivial way the Poincaré algebra, this extension being different of the supersymmetric extension. We then focus on the construction of a field theoretical model based on this algebra, the {\it cubic supersymmetry} ({\it 3SUSY}). For this purpose we obtain bosonic multiplets with whom we construct invariant Lagrangians. We then study the compatibility between this new symmetry and the abelian gauge symmetry. Furthermore, the analyse of possible interactions shows that interactions terms are not allowed by the cubic supersymmetry invariance. Finally we establish results regarding the extension in arbitrary dimensions of our model.

研究の動機と目的

• Weyl代数 𝒜₁ の有限次元リー部分代数を分類すること。
• リー代数の一般化としての3次リー代数を定義し、その性質を研究すること。
• 基本的3次リー代数の表現および変形を構成すること。
• 3次リー代数と立方超対称性との関係を確立すること。
• 𝒜₁ および sl(2) の自己同型群の作用下でのリー代数の族の軌道構造を調査すること。

提案手法

• Weyl代数のDixmier分割を用いて、有限次元リー部分代数を分類する。
• 𝒜₁ 内での sl(2) の実現を、3次リー代数を構成する基盤とする。
• 自己同型群 Aut(𝒜₁) および Aut(sl(2) を用いて、リー代数の同値類を分析する。
• F = 3 を特別な場合として含む、F 次リー代数の概念を導入する。
• 変形理論を用いて、3次リー代数の連続的族を研究する。
• 𝒜₁ 内での行列表現および多項式実現を用いて、明示的なモデルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限次元リー代数が Weyl代数 𝒜₁ の部分代数として実現可能か？
• RQ2 Der(𝒜₁) の有限次元リー部分代数の完全な分類は何か？
• RQ3 3次リー代数は標準的リー代数をどのように一般化し、その定義的性質は何か？
• RQ4 Aut(𝒜₁) × Aut(sl(2)) の作用下での特定の3次リー代数族の軌道構造は何か？
• RQ5 3次リー代数はどのように変形可能であり、立方超対称性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• Weyl代数 𝒜₁ に実現可能な有限次元リー代数の完全な分類定理が確立された。
• 3次リー代数の族 F は、Aut(𝒜₁) × Aut(sl(2)) の同値関係およびその安定化部分群に関して完全に特徴づけられた。
• 𝒜₁ 内での多項式実現を用いて、基本的3次リー代数の表現が明示的に構成された。
• 基本的3次リー代数の変形が研究され、非自明な連続的族が示された。
• この論文は、3次リー代数と立方超対称性との間の直接的な関連を確立し、このような対称性のための新しい代数的枠組みを提供した。
• Aut(𝒜₁) × Aut(sl(2)) の作用下での族 F の軌道が、このようなリー代数を分類する完全な不変量であることが示された。