[論文レビュー] Lie superalgebras of differential operators

Janusz Grabowski, Alexei Kotov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな超多様体上の1次超微分作用素代数間のリー超代数同型を分類し、それらが超多様体微分同相と偶数の超発散に関連する自己同型によって誘導されることを証明する。自己同型群は、微分同相によって誘導される自己同型と発散によって誘導される自己同型の半直積であることが示され、ベレジンアン密度を用いて任意の超多様体上で発散が大域的に存在することを証明する。

ABSTRACT

We describe explicitly Lie superalgebra isomorphisms between the Lie superalgebras of first-order superdifferential operators on supermanifolds, showing in particular that any such isomorphism induces a diffeomorphism of the supermanifolds. We also prove that the group of automorphisms of such a Lie superalgebra is a semi-direct product of the subgroup induced by the supermanifold diffeomorphisms and another subgroup which consists of automorphisms determined by even superdivergences. These superdivergences are proven to exist on any supermanifold and their local form is explicitly described as well

研究の動機と目的

• 滑らかな超多様体上の1次超微分作用素のリー超代数間のリー超代数同型を分類すること。
• そのようなリー超代数の自己同型群の構造を特定すること。
• 任意の滑らかな超多様体上で偶数の超発散が存在することを証明すること。
• 1次超微分作用素代数におけるad-ノルム的要素の唯一の最大超リー理想を特徴づけること。
• 超微分作用素代数の自己同型を、コホモロジー的データを介して超ベクトル場代数の自己同型に関連付けること。

提案手法

• 著者たちは、$\mathcal{D}^1(\mathcal{M}) = \mathcal{X}(\mathcal{M}) \oplus \mathcal{A}(\mathcal{M})$ の標準的分解を用いて、自己同型を微分同相によって誘導される成分と発散によって誘導される成分に分解する。
• 彼らは、$\dim\mathcal{M} \neq 0|1$ のとき、$\mathcal{A}(\mathcal{M})$（滑らかな関数の代数）が $\mathcal{D}^1(\mathcal{M})$ 内のad-ノルム的要素の唯一の最大超リー理想として特徴づけられ、自己同型がこの理想を保存することを保証する。
• 自己同型は、$X + f \mapsto X + f + c(X)$ の形であり、$c: \mathcal{X}(\mathcal{M}) \to \mathcal{A}(\mathcal{M})$ は1次コサイクルであることが示され、自己同型がリー超代数コホモロジーと関連している。
• 超発散の存在はベレジンアン密度を用いて確立される：1密度層 $\mathfrak{D}_1 = \mathrm{Ber} \otimes \mathrm{or}(M)$ の、どこでも消えない切断 $\sigma$ が存在すれば、発散 $\gamma_\sigma(X) = (\mathcal{L}_X \sigma)\sigma^{-1}$ が定義される。
• $\mathcal{X}(\mathcal{M})$ と値をとる $\mathcal{A}(\mathcal{M})$ のコホモロジーが計算され、すべての1次コサイクルが閉じた偶数の1形式と固定された発散の組み合わせであることが示される。
• この構成は、任意の超多様体がベクトル bundle $V$ に対して $\Pi V$ に微分同相であるという事実に依存しており、$\mathcal{A}(\mathcal{M}) \simeq \Gamma(\Lambda^\bullet V^*)$ の大域的同定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな超多様体上の1次超微分作用素代数の自己同型群の構造は何か？
• RQ2 $\mathcal{D}^1(\mathcal{M})$ の自己同型は、超ベクトル場代数 $\mathcal{X}(\mathcal{M})$ の自己同型とどのように関係しているか？
• RQ3 $\mathcal{D}^1(\mathcal{M})$ の任意の自己同型は、微分同相によって誘導される部分と発散によって誘導される部分に分解可能か？
• RQ4 超発散は、$\mathcal{D}^1(\mathcal{M})$ の自己同型を分類する際に果たす役割は何か？
• RQ5 任意の滑らかな超多様体は、大域的に定義された偶数の超発散をもつのか？

主な発見

• $\mathcal{D}^1(\mathcal{M})$ の自己同型群は、超多様体微分同相の群と偶数の超発散によって誘導される自己同型の群の半直積と同型である。
• $\mathcal{D}^1(\mathcal{M})$ の任意の自己同型は、$\mathcal{A}(\mathcal{M})$（滑らかな関数の部分代数）を保存する。これは $\dim\mathcal{M} \neq 0|1$ のとき、ad-ノルム的要素の唯一の最大超リー理想である。
• $\mathcal{D}^1(\mathcal{M})$ の自己同型は、超多様体微分同相と1次コサイクル $c: \mathcal{X}(\mathcal{M}) \to \mathcal{A}(\mathcal{M})$ によって完全に決定される。ただし、$\mathcal{X}(\mathcal{M})$ から $\mathcal{D}^1(\mathcal{M})$ に拡張できるのは、微分同相によって誘導されるものに限る。
• 任意の滑らかな超多様体は、大域的に定義された偶数の超発散をもつ。これは、1密度層 $\mathfrak{D}_1 = \mathrm{Ber} \otimes \mathrm{or}(M)$ のどこでも消えない切断 $\sigma$ を用いて構成される。
• $H^1(\mathcal{X}(\mathcal{M}), \mathcal{A}(\mathcal{M}))$ は、閉じた偶数の1形式の空間と定数関数の空間の直和と同型であり、コサイクルの分解を反映している。
• $\mathfrak{D}_1$ の大域的切断 $\sigma$ に関連する発散 $\gamma_\sigma$ は、$\sigma$ の符号に依存せず適切に定義され、$\gamma_\sigma(X) = (\mathcal{L}_X \sigma)\sigma^{-1}$ である。