[論文レビュー] Lie superalgebras of Krichever-Novikov type. Almost-grading and central extensions

Martin Schlichenmaier|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、極の位置を2つの互いに素な集合に分割することにより、古典的Virasoro型代数の高 genus・多点一般化として、Krichever-Novikov型のリー超代数を導入する。古典的格子を置き換えるために、ほぼ格子（almost-grading）を用いる。任意のスケーリングおよび同値性に関して、明示的な公式を持つ一意な非自明な中心拡大が存在することを証明し、このほぼ格子に関して有界なコサイクルの完全な分類を提示する。

ABSTRACT

Abstract. Classically important examples of Lie superalgebras have been constructed starting from the Witt and Virasoro algebra. In this article we consider Lie superalgebras of Krichever-Novikov type. These algebras are multi-point and higher genus equivalents. The grading in the classical case is replaced by an almost-grading. The almost-grading is determined by a splitting of the set of points were poles are allowed into two disjoint subsets. With respect to a fixed splitting, or equivalently with respect to an almost-grading, it is shown that there is up to rescaling and equivalence a unique non-trivial central extension. It is given explicitly. Furthermore, a complete classification of bounded cocycles (with respect to the almost-grading) is given. 1.

研究の動機と目的

• 古典的リー超代数（例えばVirasoro代数）を、複数のマークド点を持つ高 genusリーマン面へ一般化すること。
• 古典的状況における標準的格子を、極の位置の分割に基づくほぼ格子構造に置き換えること。
• この一般化された設定において、ほぼ格子に関して有界なコサイクルをすべて分類すること。
• この枠組みにおける中心拡大の構造と一意性を特定すること。

提案手法

• マークド点の集合（極が許容される場所）を2つの互いに素な部分集合に分割することにより、Krichever-Novikov型リー超代数にほぼ格子を定義する。
• ほぼ格子を用いて、代数のコホモロジー構造を解析し、特に2次コサイクルに注目する。
• ほぼ格子における挙動に基づいて有界コサイクルを特徴づけ、次数が一様に有界であるものに制限する。
• 表現論的およびコホモロジー的技法を用いて、同値性の意味でそれらのすべてのコサイクルを分類する。
• ほぼ格子と整合する一意な非自明な中心拡大の明示的形を導出する。
• ほぼ格子に関するH^2のコホモロジー群の構造を解析することで、スケーリングおよび同値性の意味での一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ格子の下で、Krichever-Novikov型リー超代数における中心拡大の構造は何か？
• RQ2 極の位置の分割の選択が、有界コサイクルの存在および分類にどのように影響するか？
• RQ3 与えられたほぼ格子に関して、スケーリングおよび同値性の意味で一意な非自明な中心拡大が存在するか？
• RQ4 この一般化された設定における中心拡大の明示的公式は何か？
• RQ5 有界コサイクルはほぼ格子の下でどのように振る舞い、それらの完全な分類は何か？

主な発見

• 固定されたほぼ格子を備えたKrichever-Novikov型リー超代数に対して、スケーリングおよび同値性の意味で一意な非自明な中心拡大が存在する。
• 中心拡大は明示的に構成されており、マークド点の集合を2つの互いに素な部分集合に分割する選択に依存する。
• ほぼ格子に関して有界なすべてのコサイクルは完全に分類されており、それらのコホモロジー的構造が完全に記述されている。
• 有界コサイクルの分類は、種数やマークド点の数に依存せず、ほぼ格子を定義する分割にのみ依存する。
• ほぼ格子は、古典的Virasoro代数に関する結果を高 genusおよび多点設定へ拡張する自然な枠組みを提供する。
• 中心拡大の一意性は、ほぼ格子に関する有界性の仮定の下で成り立つ。これは、古典的状況における有限型条件の一般化である。