[論文レビュー] Lie superalgebras of string theories

Pavel Grozman, Dimitry Leites+1 more|ArXiv.org|Feb 16, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 83

ひとこと要約

本稿は、超円周上のベクトル場の単純な複素リー超代数（「ストリング的超代数」と呼ばれる）を分類し、4つの系列（1つは複素数および整数パラメータを含む）と4つの例外的ケース（そのうち2つは新規）を同定する。非自明な中心拡大を許すのはこれらの代数のうち13つに限られ、これによりリーマン面のリーマン・リーマン作用素やKdV階層といった主要な物理系の16通りの超対称化が得られ、N=4ネヴェウ＝シュヴァルツおよびラムド超代数の非自明なコサイクルが一次場の言語で明示的に与えられる。

ABSTRACT

We define and describe simple complex Lie superalgbras of vector fields on "supercircles" - simple stringy superalgebras. There are four series of such algebras and four exceptional stringy superalgebras. The 13 of the simple stringy Lie superalgebras are distinguished: only they have nontrivial central extensions; since two of the distinguish algebras have 3 nontrivial central extensions each, there are exactly 16 superizations of the Liouville action, Schroedinger equation, KdV hierarchy, etc. We also present the three nontrivial cocycles on the N=4 extended Neveu-Schwarz and Ramond superalgebras in terms of primary fields and describe the "classical" stringy superalgebras close to the simple ones. One of these stringy superalgebras is a Kac-Moody superalgebra G(A) with a nonsymmetrizable Cartan matrix A. Unlike the Kac-Moody superalgebras of polynomial growth with symmetrizable Cartan matrix, it can not be interpreted as a central extension of a twisted loop algebra.The stringy superalgebras are often referred to as superconformal ones. We discuss how superconformal stringy superalgebras really are.

研究の動機と目的

• 既存の研究（[FL]、[Sch] など）における欠落を補い、単純なストリング的リー超代数の分類を完全化すること。
• 非自明な中心拡大を許す13の特徴的なストリング的超代数を同定・特徴づけること。
• N=4拡張ネヴェウ＝シュヴァルツおよびラムド超代数上の3つの非自明なコサイクルを一次場の言語で表現し、文献における空白を解消すること。
• ストリング的超代数と超共形代数の違いを明確にし、すべてのストリング的代数が超共形的であるとは限らないことを示すこと。
• 非対称化可能でないカルタン行列をもつKac–Moody超代数として実現可能な古典的ストリング的超代数を提示し、これはねじれループ代数の中心拡大として実現可能でない。

提案手法

• 超多様体（超円周）上のベクトル場の超代数のカルタン継続と幾何的解釈を用い、単純なストリング的超代数を分類する。
• コhomological技法を用いて非自明な中心拡大を計算・表現し、特にN=4ネヴェウ＝シュヴァルツおよびラムド超代数に注目する。
• チェバリの生成子と重み付き関係を用い、${\mathfrak{sl}}(4)$を基底として、例外的超代数 ${\mathfrak{k}}{\mathfrak{as}}^{L}$ の構造を記述する。
• 重みごとに層別化し、セール型関係および最高/最低重み条件を検証することで、超代数の定義関係を再構成する。
• 演算子積展開（OPE）フレームワークを用い、一次場の言語でコサイクルを表現し、物理的応用との整合性を保証する。
• 非対称化可能でないカルタン行列 $A$ をもつKac–Moody超代数 ${\mathfrak{g}}(A)$ の構造を分析し、対称化可能でないカルタン行列をもつ標準的Kac–Moody代数とは区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超円周上のベクトル場の単純なリー超代数のうち、非自明な中心拡大を許すのはどれか？
• RQ2 これらの中心拡大から、リーマン作用素、KdV階層、およびシュレーディンガー方程式の超対称化はいくつ得られるか？
• RQ3 N=4拡張ネヴェウ＝シュヴァルツおよびラムド超代数上の3つの非自明なコサイクルの正確な構造は何か？ そしてそれらはどのように一次場の言語で表現できるか？
• RQ4 なぜ一部のストリング的超代数は超共形的でないのか？ それらは標準的超共形代数とどのように異なるか？
• RQ5 非対称化可能でないカルタン行列をもつKac–Moody超代数は、ねじれループ代数の中心拡大として実現可能か？ もし不可能ならば、その構造的起源は何か？

主な発見

• 非自明な中心拡大を許す単純なストリング的リー超代数は正確に13つ存在する。
• この13つの代数は、2つがそれぞれ3つの非自明な中心拡大を持つため、リーマン作用素、シュレーディンガー方程式、KdV階層の超対称化が正確に16通り得られる。
• 本稿では、既存の文献に報告されていなかった2つの新しい例外的ストリング的超代数を同定する。
• N=4拡張ネヴェウ＝シュヴァルツおよびラムド超代数に対して、3つの非自明なコサイクルが明示的に構成され、一次場の言語で表現され、長年の曖昧さが解消される。
• 古典的ストリング的超代数 ${\mathfrak{k}}{\mathfrak{as}}^{L}$ が、非対称化可能でないカルタン行列 $A$ をもつKac–Moody超代数であることが示され、これはねじれループ代数の中心拡大として解釈できない。
• 単純なストリング的超代数の分類が完全に完了し、4つの系列（1つは複素数および整数パラメータに依存）と4つの例外的ケースを含む。[FL]における既存の欠落が埋められ、リストの完全性が確認された。