[論文レビュー] Lie symmetries of fundamental solutions of one (2+1)-dimensional ultra-parabolic Fokker--Planck--Kolmogorov equation

Sergii Kovalenko, Valeriy Stogniy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、(2+1)次元の超放物型Fokker–Planck–Kolmogorov方程式の基本解のリー対称代数を導出するためにBerest–Aksenov法を適用する。2次元の対称代数を特定することで、対称性の縮約と一般化関数の技法を用いて、明示的な弱不変基本解を構成し、群論的根拠を提示するとともに、Kolmogorovの先行結果を裏付け、線形偏微分方程式の基本解が自然にその対称代数に対して不変であることを示している。

ABSTRACT

A (2+1)-dimensional linear ultra-parabolic Fokker--Planck--Kolmogorov equation is investigated from the group-theoretical point of view. By using the Berest--Aksenov approach, an algebra of invariance of fundamental solutions of the equation is found. A fundamental solution of the equation under study is computed in an explicit form as a weak invariant solution.

研究の動機と目的

• (2+1)次元の超放物型Fokker–Planck–Kolmogorov方程式の基本解の不変代数を特定すること。
• Berest–Aksenov法を用いて、対称性の縮約を介して弱不変基本解を構成すること。
• Kolmogorovが事前に導出した基本解に対して、群論的根拠を提供すること。
• 線形偏微分方程式の基本解が、方程式の対称代数に対して自然に不変であることを示すこと。

提案手法

• Fokker–Planck–Kolmogorov方程式の点対称性を分析することにより、Berest–Aksenov法を用いて基本解の不変代数を同定する。
• 時間変数と空間変数の対称性生成子Y₁とY₄から古典的不変量を導出し、PDEをODEに縮約するためのアンサンブルを構成する。
• アンサンブルを用いて古典的不変解を導出し、一般化関数（ディラック関数）を用いて弱不変解に一般化する。
• 一般化関数h(t,x,y)は、分布的意味での対称性条件を満たすためにh = C₁θ(t−t₀) + C₀と定められる。
• 弱不変解を元のPDEに代入することで定数C₁が固定され、C₁ = √3/(2π)が得られる。
• 最終的な基本解は、時間に依存する分散とドリフトを含むガウス型関数として閉形式で表され、因果性を満たすためにヘヴィサイドのステップ関数が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (2+1)次元の超放物型Fokker–Planck–Kolmogorov方程式の基本解の不変代数は何か？
• RQ2 この方程式の基本解は、リー群の手法を用いた対称性の縮約によって構成可能か？
• RQ3 Kolmogorovが既に得た基本解は、2次元の対称代数に対して弱不変か？
• RQ4 Berest–Aksenov法は、弱不変性を介してどのように基本解の構成を可能にするか？

主な発見

• (2+1)次元のFokker–Planck–Kolmogorov方程式の基本解の不変代数は、ベクトル場Y₁とY₄によって張られることが判明した。
• 対称性の縮約により古典的不変解が得られ、PDEはODE φ'' + (3/2)ωφ' + (3/2)φ = 0 に縮約され、その解はφ = C exp(−3ω²/4)として得られる。
• 一般化関数を用いた弱不変解は、u = h(t,x,y)/(t−t₀)² × exp(−(x−x₀)²/(4(t−t₀)) − 3(y−y₀−(t−t₀)(x+x₀)/2)²/(t−t₀)³) の形で表され、hは一般化関数である。
• 一般化関数hはh = C₁θ(t−t₀) + C₀と定められ、C₁ = √3/(2π)である。これにより、解は分布的意味でPDEを満たす。
• 最終的な基本解はKolmogorovの元の結果と一致し、その群論的起源が確認され、基本解が対称代数に対して不変であるという原則が裏付けられた。
• 解は明示的にu = [√3/(2π)θ(t−t₀) + C₀]/(t−t₀)² × exp(−(x−x₀)²/(4(t−t₀)) − 3(y−y₀−(t−t₀)(x+x₀)/2)²/(t−t₀)³) として与えられ、C₀は同次性のため任意である。