[論文レビュー] Lieb-Robinson Bounds and Existence of the Thermodynamic Limit for a Class of Irreversible Quantum Dynamics

Bruno Nachtergaele, Anna Vershynina+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2011

Quantum Information and Cryptography参考文献 26被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、時刻に依存する空間的減衰を持つ生成子を有する格子系における非可逆な量子ダイナミクスのクラスに対して、Lieb-Robinson 界を確立する。局所的観測可能量におけるコーシー列の議論を用いて伝播界を示し、全観測可能量代数上の強い連続的、完全正倣、単位を保つ一パラメータ群としての熱力学的極限の存在を示す。

ABSTRACT

We prove Lieb-Robinson bounds and the existence of the thermodynamic limit for a general class of irreversible dynamics for quantum lattice systems with time-dependent generators that satisfy a suitable decay condition in space.

研究の動機と目的

• 時刻に依存する生成子を有する量子格子系における非可逆な量子ダイナミクスの Lieb-Robinson 型伝播界を確立すること。
• 完全正倣、単位を保つ写像の強連続的一パラメータ群としての意味で、このようなダイナミクスの熱力学的極限の存在を証明すること。
• 空間的減衰する相互作用を有する非可逆的・非ユニタリなダイナミクスへの Lieb-Robinson 界の適用範囲を拡張すること。
• 統計力学、量子光学、量子情報における散逸的かつ時刻に依存するダイナミクスを有する量子系の巨視的性質を研究するための厳密な枠組みを提供すること。
• 時間に依存する非ハミルトニアン生成子と適切な空間的減衰を組み合わせることで、従来の熱力学的極限に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 可算な距離空間 $\Gamma$ 上に定義された量子格子系に対して、正則性条件を満たす一様可積分な空間的減衰関数 $F$ を導入する。
• 生成子 $\mathcal{L}_\Lambda(t)$ を、$F_\mu(x) = e^{-\mu x}F(x)$ で制御される空間的減衰を有する有界で局所的な項の和として定式化する。
• 有限体積の観測可能量の時間発展 $\gamma_{t,s}^{(n)}$ に対して Lieb-Robinson 界を証明し、局所的観測可能量が有限速度で拡散することを示す。
• Lieb-Robinson 界を用いて、局所的 $A$ に対して $\|\gamma_{t,s}^{(n)}(A) - \gamma_{t,s}^{(m)}(A)\|$ の差を推定し、$n,m \to \infty$ のときその値が消えることを示す。
• 完全有界ノルム $\|\Psi_Z(r)\|_{\rm cb}$ と空間的減衰 $F_\mu$ を含む積分推定を用いて、$\gamma_{t,s}^{(n)}(A)$ のコーシー性を確立する。
• 局所的観測可能量における一様収束と密度の議論を用いて、極限ダイナミクス $\gamma_{t,s}^\Gamma$ の強連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻に依存し空間的減衰を持つ生成子を有する非可逆な量子ダイナミクスに対して、Lieb-Robinson 界を確立できるか？
• RQ2 このようなダイナミクスの熱力学的極限は、全観測可能量代数上の強連続的、完全正倣、単位を保つ一パラメータ群として存在するか？
• RQ3 生成子の空間的減衰および時刻依存性にどのような条件を課すと、有限伝播速度および有限体積ダイナミクスの収束が保証されるか？
• RQ4 散逸的（非ハミルトニアン的）項の導入が、熱力学的極限の存在および構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 Lieb-Robinson 界の枠組みをユニタリダイナミクスを超えて、時間に依存する生成子を有する一般の完全正倣半群へどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 時刻に依存し空間的減衰を持つ生成子を有する非可逆な量子ダイナミクスに対して Lieb-Robinson 界が確立され、局所的観測可能量が有限速度で伝播することを示した。
• 有限体積生成子によって生成されるダイナミクスが、観測可能量代数上での完全正倣、単位を保つ写像の連続的族として適切に定義されることを示した。
• ダイナミクスの熱力学的極限が、全代数 $\mathcal{A}_\Gamma$ 上の強連続的一パラメータ群 $\gamma_{t,s}^\Gamma$ として存在することを示した。
• 極限ダイナミクス $\gamma_{t,s}^\Gamma$ は完全正倣、単位を保ち、時間変数 $s$ および $t$ に関して両方で強連続的である。
• 空間的減衰 $F_\mu$ の指数的減衰のおかげで、有限体積ダイナミクスから熱力学的極限への収束は、コンパクト時間区間および局所的観測可能量において一様である。
• 証明は、作用素ノルムにおけるコーシー列の議論に依拠しており、有限体積発展の差は $\|\Psi_Z(r)\|_{\rm cb}$ と空間的減衰 $F_\mu$ を含む積分によって抑えられ、熱力学的極限において消える。