[論文レビュー] Lieb-Robinson Bounds for Multi-Commutators and Applications to Response Theory

J. -B. Bru, W. de Siqueira Pedra|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|Feb 28, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、量子多体系における相互作用するフェルミ粒子の格子系における時間に依存するダイナミクスの厳密な解析を可能にするために、Lieb-Robinson 界を多重可換子へ一般化する。主な貢献は、3次以上の多重量可換子に対する境界の導出であり、非自己同型ダイナミクスの基本解の存在を確立し、線形および非線形応答理論における新たな結果を可能にする。特に、交流導電度測度の高周波数領域での減衰を示す。

ABSTRACT

We generalize to multi-commutators the usual Lieb-Robinson bounds for commutators. In the spirit of constructive QFT, this is done so as to allow the use of combinatorics of minimally connected graphs (tree expansions) in order to estimate time-dependent multi-commutators for interacting fermions. Lieb-Robinson bounds for multi-commutators are effective mathematical tools to handle analytic aspects of the dynamics of quantum particles with interactions which are non-vanishing in the whole space and possibly time-dependent. To illustrate this, we prove that the bounds for multi-commutators of order three yield existence of fundamental solutions for the corresponding non-autonomous initial value problems for observables of interacting fermions on lattices. We further show how bounds for multi-commutators of an order higher than two can be used to study linear and non-linear responses of interacting fermions to external perturbations. All results also apply to quantum spin systems, with obvious modifications. However, we only explain the fermionic case in detail, in view of applications to microscopic quantum theory of electrical conduction discussed here and because this case is technically more involved.

研究の動機と目的

• 量子格子系における標準的可換子から任意の次数の多重量可換子へ Lieb-Robinson 界を拡張すること。
• 時間に依存する相互作用を有する無限体積フェルミオン系における非自己同型初期値問題の基本解の存在を確立すること。
• 外部摂動に対する線形および非線形応答を数学的に厳密に扱うためのフレームワークを提供すること。
• 高次多重量可換子境界を用いて、交流導電度測度の高周波数領域での減衰性質を導出すること。
• 短距離相互作用を有する相互作用系への自由フェルミ粒子に関する先行結果の拡張により、交流領域におけるオームの法則およびジュールの法則の微視的導出を支援すること。

提案手法

• 構成的量子場理論にインspiredされた最小連結グラフ（木展開）に基づく組合せ論的技法を用いて、多重量可換子への Lieb-Robinson 界の一般化を行う。
• 短距離相互作用のバナッハ空間を定義し、密度-密度相互作用およびヤクバイ型ポテンシャルを含むが、非summableなクーロンポテンシャルを除く。
• 強い連続半群理論の道具を用いて、非有界で時間に依存する生成作用素を有する時間に依存する非自己同型ダイナミクスへ境界を拡張する。
• 新しい多重量可換子境界を用いて、相互作用の空間的速やかな減衰が成立する場合の相関関数に対する木構造の減衰推定を導出する。
• 多重量可換子推定を用いて、時間順序付き指数的進化を制御することで、非自己同型ダイナミクスの基本解の存在を確立する。
• 境界を用いて交流導電度測度の高周波数漸近挙動を導出し、相互作用が十分に速やかに減衰する場合に減衰が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用するフェルミオン系において、3次以上の多重量可換子に対する Lieb-Robinson 界を拡張することは可能か？
• RQ2 高次多重量可換子境界は、時間に依存する相互作用を有する非自己同型量子ダイナミクスの基本解の存在を保証するか？
• RQ3 これらの境界を用いて、交流導電度測度の高周波数領域での厳密な減衰性質を導出できるか？
• RQ4 多重量可換子境界は、量子多体系における線形応答の非線形補正の研究をどのように支援するか？
• RQ5 これらの境界は、交流摂動下における相互作用フェルミオン系におけるオームの法則およびジュールの法則の微視的導出をどの程度支援するか？

主な発見

• 3次以上の多重量可換子に対する Lieb-Robinson 界は、時間に依存する相互作用を有する無限体積フェルミオン系における非自己同型初期値問題の基本解の存在を保証する。
• 境界は、相互作用の多項式的減衰が十分に大きい場合、時間順序付き多重量可換子に対する木構造の減衰推定をもたらす。
• 相互作用が $ r^{-2d} $ より速く減衰する場合、交流導電度測度は高周波数領域で減衰し、導電度カーネルの2階微分の測度が正かつ有限である。
• この手法により、相互作用フェルミオン系における交流領域のオームの法則およびジュールの法則の厳密な導出が可能となり、自由フェルミオンに関する先行結果を拡張する。
• フレームワークは、量子スピン系に対してもわずかな修正で適用可能であるが、本稿では技術的複雑性および電気伝導理論への関連性の観点からフェルミオンに焦点を当てる。
• このフレームワークは、標準的な線形応答理論を超えた非線形応答補正の研究を支援する。