[論文レビュー] Lieb-Thirring Inequalities

Élliott H. Lieb|ArXiv.org|Mar 27, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 27被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^n $ 上のシュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + V(x) $ の負の固有値に関する Lieb-Thirring 不等式を確立し、分析する。負の固有値の $ \gamma $ 乗の和は、$ V_- $ の $ \gamma + n/2 $ 乗モーメントに比例する定数で有界であることが示された。主な貢献は、鋭い定数 $ L_{\gamma,n} $ の特定であり、$ \gamma \geq 3/2 $ および $ \gamma = 1/2, n=1 $ の場合に正確な値が得られ、半古典的定数 $ L_{\gamma,n}^c $ の鋭さに関する予想も提示された。

ABSTRACT

This is a brief review of Lieb-Thirring inequalities for eigenvalues of the Schroedinger operator and lower bounds for the quantum mechanical kinetic energy (and some generalizations) in R^n.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + V(x) $ に対して、$ \mathbb{R}^n $ 上で鋭い Lieb-Thirring 不等式を確立し、特に $ \gamma \geq 0 $ および $ n \geq 1 $ の場合を対象とする。
• Lieb-Thirring 不等式 $ \sum |e_j|^\gamma \leq L_{\gamma,n} \int V_-^{\gamma+n/2} dx $ における鋭い定数 $ L_{\gamma,n} $ を特定する。特に半古典的定数 $ L_{\gamma,n}^c $ との関係を検討する。
• $ L_{\gamma,n} = L_{\gamma,n}^c $ となる条件を調査し、$ \gamma \in (1/2, 3/2) $ の範囲で $ L_{\gamma,1} $ が半古典的値に一致するという予想を検討する。
• 磁場を含む場合や、正規直交関数列への不等式の拡張を検討し、運動エネルギーの上界と物質の安定性に結びつける。

提案手法

• 証明は、Birman-Schwinger 核 $ K_E(V) = \sqrt{V_-} (-\Delta + E)^{-1} \sqrt{V_-} $ に依拠しており、$ H $ の $ -E $ 未満の固有値の個数は、$ K_E(V) $ の固有値が 1 を超える個数に等しい。
• 和 $ \sum |e_j|^\gamma $ は、$ E $ に関する積分として表される：$ \gamma \int_0^\infty N_E(V) E^{\gamma-1} dE $、ここで $ N_E(V) $ は $ -E $ 未満の固有値の個数を数える。
• 半古典的近似 $ L_{\gamma,n}^c = 2^{-n} \pi^{-n/2} \Gamma(\gamma+1)/\Gamma(\gamma+1+n/2) $ が、$ L_{\gamma,n} $ の下界として用いられ、$ L_{\gamma,n} \geq L_{\gamma,n}^c $ が成り立つ。
• $ R_{\gamma,n} = L_{\gamma,n}/L_{\gamma,n}^c $ が $ \gamma $ に関して非増加であることが示され、ある $ \gamma $ で等号が成立すれば、それより大きいすべての $ \gamma $ に対しても成立する。
• 運動エネルギーの不等式では、$ L^2(\mathbb{R}^n) $ 内の正規直交列 $ \{f_j\} $ を用いて密度 $ \rho(x) = \sum |f_j(x)|^2 $ を定義し、$ \sum \int |\nabla f_j|^2 \geq K_n \int \rho^{1+2/n} $ の上界を得る。ここで $ K_n $ は $ L_{1,n} $ から導かれる。
• 双対性の議論により、$ \gamma = 1 $ の場合が Thomas-Fermi 動径エネルギー関数と結びつき、$ L_{1,3} = L_{1,3}^c $ ならば、正確な Thomas-Fermi の解が得られると示唆される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lieb-Thirring 不等式 $ \sum |e_j|^\gamma \leq L_{\gamma,n} \int V_-^{\gamma+n/2} dx $ が成り立つ $ \gamma $ と $ n $ の値は何か。鋭い定数 $ L_{\gamma,n} $ は何か。
• RQ2 $ L_{\gamma,n} $ が半古典的定数 $ L_{\gamma,n}^c $ に等しくなる条件は何か。
• RQ3 $ \gamma \in (1/2, 3/2) $ の範囲で、$ L_{\gamma,1} = \frac{1}{\sqrt{\pi}(\gamma-1/2)} \frac{\Gamma(\gamma+1)}{\Gamma(\gamma+1/2)} \left( \frac{\gamma-1/2}{\gamma+1/2} \right)^{\gamma+1/2} $ という予想式が正しいか。
• RQ4 $ n \geq 3 $ のとき、$ L_{0,n} = L_{0,n}^1 $ が成り立つか。これは CLR 界と第一固有値を結びつける。
• RQ5 磁場を伴うシュレーディンガー作用素 $ A(x) $ に対して、Lieb-Thirring 不等式を拡張できるか。鋭い定数は変わらないか。

主な発見

• Lieb-Thirring と後に Laptev-Weidl が示したように、すべての $ \gamma \geq 3/2 $ に対して、鋭い定数 $ L_{\gamma,n} $ は半古典的定数 $ L_{\gamma,n}^c $ に等しい。
• $ n=1 $ のとき、鋭い定数 $ L_{1/2,1} = 1/2 $ であり、これは $ \gamma = 1/2 $ の場合の予想式 (3) と一致する。
• $ (1/2, 3/2) $ の範囲における $ L_{\gamma,1} $ の予想式 (3) は微分方程式の解法によって支持され、$ L_{\gamma,1}^1 = L_{\gamma,1} $ を意味する。これは第一固有値のみが不等式を飽和させることを示唆する。
• 正規直交列に対して、不等式 $ \sum \int |\nabla f_j|^2 \geq K_n \int \rho^{1+2/n} $ が成り立ち、$ K_n $ は $ L_{1,n} $ から得られる。もし $ L_{1,3} = L_{1,3}^c $ ならば、Thomas-Fermi 関数と一致する。
• $ n \geq 3 $ のとき、$ L_{0,n}^1 = (S_n)^{-n} $ が成り立つ。ここで $ S_n $ は、Sobolev 不等式 $ \|\nabla f\|_{L^2} \geq S_n \|f\|_{L^{2n/(n-2)}} $ の鋭い定数である。これにより、Lieb-Thirring 不等式と Sobolev 理論が結びつく。
• すべての $ \gamma < 1 $ およびすべての $ n $ に対して $ L_{\gamma,n} > L_{\gamma,n}^c $ であることが知られており、この範囲では半古典的定数は鋭くないことが示された。