[論文レビュー] "Life after death" in ordinary differential equations with a non-Lipschitz singularity

Theodore D. Drivas, Alexei A. Mailybaev|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2018

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 65被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、原点に非リプシッツ特異性を有する常微分方程式のグローバル解を一意に選択するための、解に依存する正規化手続きを導入する。標準的な一意性は有限時間 blowup 後に失敗するが、特異性の周囲の ν-ボール内でベクトル場を滑らかにし、ν→0 の極限を取ることで、blowup 前後における力学を、吸引子に従う無限時間力学に写像する。この方法により、一般の場合に正則化の詳細に依存しない一意な解族が得られる。

ABSTRACT

We consider a class of ordinary differential equations in $d$-dimensions featuring a non-Lipschitz singularity at the origin. Solutions of such systems exist globally and are unique up until the first time they hit the origin, $t = t_b$, which we term `blowup'. However, infinitely many solutions may exist for longer times. To study continuation past blowup, we introduce physically motivated regularizations: they consist of smoothing the vector field in a $ u$--ball around the origin and then removing the regularization in the limit $ u o 0$. We show that this limit can be understood using a certain autonomous dynamical system obtained by a solution-dependent renormalization procedure. This procedure maps the pre-blowup dynamics, $t < t_b$, to the solution ending at infinitely large renormalized time. In particular, the asymptotic behavior as $t earrow t_b$ is described by an attractor. The post-blowup dynamics, $t > t_b$, is mapped to a different renormalized solution starting infinitely far in the past. Consequently, it is associated with another attractor. The $ u$-regularization establishes a relation between these two different "lives" of the renormalized system. We prove that, in some generic situations, this procedure selects a unique global solution (or a family of solutions), which does not depend on the details of the regularization. We provide concrete examples and argue that these situations are qualitatively similar to post-blowup scenarios observed in infinite-dimensional models of turbulence.

研究の動機と目的

• 原点に非リプシッツ特異性を有する常微分方程式における解の非一意性を解消すること。特に、有限時間 blowup が発生する場合を想定する。
• blowup 後の解のうち、物理的に妥当な正則化手続きを用いて一意的または制限された解族を選択すること。
• blowup 前後における力学を、吸引子に従う無限時間力学に写像する、解に依存する正規化フレームワークを確立すること。
• 一般の場合に、選択された解族が正則化の詳細に依存しないことを示し、解の頑健性と物理的妥当性を保証すること。

提案手法

• 原点周囲の ν-ボール内でベクトル場を滑らかにし、その後 ν→0 の極限を取ることで粘性正則化を導入する。
• 時間および状態変数を解に依存する正規化により変換し、有限時間 blowup を両方の領域（blowup 前・blowup 後）で無限時間力学に写像する。
• 正規化された位相時間空間における吸引子を用いて、blowup 前の力学の漸近的挙動を分析する。
• 別個の吸引子に関連する、無限に過去にさかのぼる正規化解を用いて、blowup 後の力学を特徴付ける。
• ν-正則化を両方の正規化力学の間の橋渡しとして用い、可能なグローバル解に課される制約を同定する。
• 一般の場合に、無粘性極限が正則化の詳細（滑らかさ関数の形状を含む）に依存しない一意な解族（周期的吸引子の場合には1パラメータ族）を選択することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ特異性を有する常微分方程式において、物理的に妥当な正則化手続きが、有限時間 blowup 後の解を一意に選択できるか。
• RQ2 解に依存する正規化手続きは、blowup 前後における力学をどのように無限時間力学に変換するか。
• RQ3 正規化された力学における吸引子が、可能なグローバル解の集合を制約する役割を果たすか。
• RQ4 選択された解族が、滑らかさ関数の形状など、正則化の詳細に依存しないか。
• RQ5 この枠組みは、乱流モデルなどの無限次元系における blowup 後の挙動をモデル化するために応用可能か。

主な発見

• blowup 前の力学は、正規化された位相時間空間における固定点吸引子によって漸近的に記述され、自己相似的べき乗則挙動に対応する。
• blowup 後の力学は、無限に過去にさかのぼる別個の正規化解に写像され、別個の吸引子に従う。
• 一般の場合に、無粘性極限は正則化の詳細（滑らかさ関数の形状を含む）に依存しない一意な解族を選択する。
• 周期的吸引子の場合、選択は1パラメータ族の解をもたらし、νn→0 の異なる幾何的部分列に対応する。
• 数値的検証により、解が無粘性極限において正規化解 (138) に収束することが確認され、全解族は位相空間内で円錐面を形成する。
• この手法は、保存則におけるエントロピー選択に類似した、特異な常微分方程式に対する普遍的な選択メカニズムを提供し、カオス的吸引子領域では自発的確率性を示唆する。