[論文レビュー] Life-span of solutions to semilinear wave equation with time-dependent critical damping for specially localized initial data

Masahiro Ikeda, Motohiro Sobajima|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初期データが compact な場合に、時間に依存する臨界減衰項 $\frac{\mu}{1+t}\partial_t u$ を持つ半線形波動方程式の解の寿命に対する鋭い上界を確立する。$\mu \in [0, \frac{N^2+N+2}{N+2})$ の下で、双曲正規超幾何関数を用いた新しいテスト関数の構成により、$p_F(N) \leq p \leq p_0(N+\mu)$ の範囲で爆発が発生することを証明し、寿命が $\operatorname{LifeSpan}(u_\varepsilon) \leq \exp[K_5 \varepsilon^{-p(p-1)}]$ であることを示す。これにより、爆発と大域的存続の境界をなす臨界指数 $p_0(N+\mu)$ が明確に特定される。

ABSTRACT

This paper is concerned with the blowup phenomena for initial value problem of semilinear wave equation with critical time-dependent damping term (DW). The result is the sharp upper bound of lifespan of solution with respect to the small parameter $\ep$ when $p_F(N)\leq p\leq p_0(N+μ)$, where $p_F(N)$ denotes the Fujita exponent for the nonlinear heat equations and $p_0(n)$ denotes the Strauss exponent for nonlinear wave equation in $n$-dimension with $μ=0$. Consequently, by connecting the result of D'Abbicco--Lucente--Reissig 2015, our result clarifies the threshold exponent $p_0(N+μ)$ for dividing blowup phenomena and global existence of small solutions when $N=3$. The crucial idea is to construct suitable test functions satisfying the conjugate linear equation $\pa_t^2Φ-ΔΦ-\pa_t(\fracμ{1+t}Φ)=0$ of (DW) including the Gauss hypergeometric functions; note that the construction of test functions is different from Zhou--Han in 2014.

研究の動機と目的

• 時間に依存する臨界減衰項 $\frac{\mu}{1+t}\partial_t u$ を持つ半線形波動方程式の小データ解の寿命に対する鋭い上界を確立すること。
• 臨界および準臨界の場合における小解の爆発と大域的存続を分ける臨界指数 $p_0(N+\mu)$ を明確にすること。
• $\mu=0$ の場合の爆発に関する先行結果を $\mu>0$ に拡張し、特に $N=3$ の場合に $p_0(N+\mu)$ が臨界指数であることを示すこと。
• 時間に依存する減衰項を伴う波動方程式の共役線形方程式を満たす適切なテスト関数を、ガウス超幾何関数を用いて構成し、寿命推定の導出を可能にすること。

提案手法

• ガウス超幾何関数を用いて、共役線形方程式 $\partial_t^2 \Phi - \Delta \Phi - \partial_t\left(\frac{\mu}{1+t}\Phi\right) = 0$ を満たすテスト関数 $\Phi$ を構成する。
• 適切に選んだ重み $\beta_0, \beta_\delta$ を用いたスケーリングおよび重み付きエネルギー推定法により、解の $L^p$ ノルムの増大を制御する。
• 時間経過に伴うエネルギーおよび $L^p$ ノルム寄与を追跡するための補助関数 $G_{\beta_0}(t)$, $H_{\beta_0}(t)$, $J_{\beta_0}(t)$ を定義する。
• ログ重みを含む積分推定およびグローヴァル型不等式を用いて、エネルギー関数への微分不等式を導出する。
• 時間変数を $\sigma = \log(1+t)$ に変換し、対数スケールでの爆発挙動を解析し、補題3.1を適用して有限時間での爆発を導出する。
• $J_{\beta_0}(t)$ が $\exp[K_5 \varepsilon^{-p(p-1)}]$ より前に爆発することを示すことにより、寿命の上界 $\operatorname{LifeSpan}(u_\varepsilon) \leq \exp[K_5 \varepsilon^{-p(p-1)}]$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する減衰項 $\frac{\mu}{1+t}\partial_t u$ を持つ半線形波動方程式の小データ解の寿命に対する鋭い上界は何か？
• RQ2 減衰項が時間に依存し、臨界的である場合（$\mu \in [0, \frac{N^2+N+2}{N+2})$）に、爆発と大域的存続を分ける臨界指数はどのように変化するか？
• RQ3 ガウス超幾何関数に基づくテスト関数の手法を、時間に依存する減衰項の状況に適応し、寿命推定を導出できるか？
• RQ4 臨界および準臨界範囲 $p_F(N) \leq p \leq p_0(N+\mu)$ において、寿命の小パrameter $\varepsilon$ への正確な依存関係は何か？
• RQ5 $\mu=0$（ストラウス指数）および $\mu>0$（フジタおよび修正ストラウス指数）の既知の結果と比較して、寿命推定はどのように異なるか？

主な発見

• 小データ解の寿命は $p_F(N) \leq p \leq p_0(N+\mu)$ の範囲で $\operatorname{LifeSpan}(u_\varepsilon) \leq \exp[K_5 \varepsilon^{-p(p-1)}]$ を満たし、これは鋭い上界を提供する。
• $p_0(N+\mu)$ は、$\mu > 0$ の場合に小データ解の爆発と大域的存続を分ける臨界値として特定され、古典的なストラウス指数を時間に依存する減衰項の状況に拡張する。
• $N=3$ の場合に、$p_0(N+\mu)$ が正確な臨界指数であることが確認され、$p_0(N+\mu)$ か $p_F(N)$ が爆発挙動を支配するかという未解決の問題が解決される。
• ガウス超幾何関数を用いたテスト関数の構成は、時間に依存する減衰項が存在する場合の共役方程式を扱うための新しい手法を提供し、従来の手法とは異なる。
• 寿命推定は、臨界ケース $p = p_0(N+\mu)$ と整合しており、$\varepsilon^{-1}$ の二重指数的時間で爆発が発生することを示し、$\mu=0$ の場合と同様の挙動を示す。
• 解析により、臨界減衰 $\mu \in [0, \frac{N^2+N+2}{N+2})$ が、準臨界および臨界範囲での爆発を防がないことが確認され、臨界指数が $p_0(N+\mu)$ に変化することが判明する。