[論文レビュー] Lifshitz asymptotics for Hamiltonians monotone in the randomness

Ivan Veselić|ArXiv.org|Aug 3, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、確率的シュレーディンガー作用素の統合状態密度（IDS）に対するLifshitz漸近挙動を、確率パラメータに関してハミルトニアンが単調である場合に確立し、連続でない特性関数を持つブリーダー型ポテンシャルのクラスにまで既存の結果を拡張する。テンプルの不等式の代わりにチルリングの不等式を用いることで、鍵となるLifshitz評価 $$ \lim_{E\searrow E_0} \frac{\log|\log N(E)|}{\log(E-E_0)} \leq -\frac{d}{2} $$ を証明し、従来の手法では取り扱えないモデルにおいても、スペクトル端近くでのIDSの指数的減衰が成立することを確認する。

ABSTRACT

In various aspects of the spectral analysis of random Schroedinger operators monotonicity with respect to the randomness plays a key role. In particular, both the continuity properties and the low energy behaviour of the integrated density of states (IDS) are much better understood if such a monotonicity is present in the model than if not. In this note we present Lifshitz-type bounds on the IDS for two classes of random potentials. One of them is a slight generalisation of a model for which a Lifshitz bound was derived in a recent joint paper with Werner Kirsch [KV]. The second one is a breather type potential which is a sum of characteristic functions of intervals. Although the second model is very simple, it seems that it cannot be treated by the methods of [KV]. The models and the proofs are motivated by well-established methods developed for so called alloy type potentials.

研究の動機と目的

• 確率的シュレーディンガー作用素のLifshitz漸近挙動を、確率パラメータに関してハミルトニアンが単調であるが、かつそのパラメータに関してリプシッツ連続でない場合にまで拡張すること。
• 区間の特性関数によって定義されるブリーダー型ポテンシャルのクラスに対して、統合状態密度（IDS）の低エネルギー挙動を確立すること。
• 不連続なポテンシャルを持つモデルにおいてテンプルの不等式が失敗するのを克服し、スペクトル下界を求めるためにチルリングの不等式を用いること。
• ポテンシャルが確率パラメータに関してリプシッツ連続でない場合でも、Lifshitzテイル指数 $-d/2$ が成立することを示すこと。

提案手法

• 有限体積近似として、区間 $\Lambda_L = [-L/2, L/2]$ 上のノイマン境界条件を用いた、IDSの固有値数え上げによる近似を用いる。
• テンプルの不等式が、選ばれた試行状態における一次および二次モーメントが等しくなるために失敗するため、第一固有値 $E_1(H_{\omega}^L)$ の下界をとるのにチルリングの不等式を用いる。
• スペクトルギャップを制御するため、比較作用素 $H_0^L = -\Delta - \alpha/(4L^2)$ と摂動 $V_\omega = \alpha/(4L^2) + W_\omega$ を導入する。
• 第一固有値 $E_1(H_\omega^L)$ の下界を導くために、平均ポテンシャルの逆数 $\tilde{S}_L = L^{-1} \sum_{k \in I_L} \tilde{\lambda}_k$ を用いる、ここで $\tilde{\lambda}_k = \min(\lambda_k, 1/2)$ である。
• 大偏差推定を $\mathbb{P}(\tilde{S}_L \leq \mathbb{E}[\tilde{S}_L]/2)$ に適用し、第一固有値が $E$ より小さい確率が $e^{-\tilde{c} E^{-d/2}}$ のオーダーで指数的に小さくなることを得る。
• 最終的なIDSの評価は、有限体積固有値推定と標準的なIDS近似 $N(E) \leq L^{-1} \mathbb{E}[\text{Tr}(\chi_{]-\infty,E]}(H_\omega^L))]$ を組み合わせることで得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的シュレーディンガー作用素のLifshitz漸近挙動は、確率パラメータに関してハミルトニアンが単調であるが、そのパラメータに関してリプシッツ連続でない場合に確立可能か？
• RQ2 特性関数ポテンシャルの場合にテンプルの不等式が鋭い評価をもたらさない理由は何か？ その代わりに使用可能な代替手法は何か？
• RQ3 不連続なブリーダー型ポテンシャル、例えば $u(\lambda,x) = \chi_{]0,\lambda]}(x)$ によって定義されるものに対しても、標準的なLifshitzテイル指数 $-d/2$ は成立するか？
• RQ4 第一および第二モーメントが近いモデルにおいて、チルリングの不等式はスペクトル下界を導くのに有効に使えるか？

主な発見

• IDSはLifshitz評価 $$ \lim_{E\searrow E_0} \frac{\log|\log N(E)|}{\log(E-E_0)} \leq -\frac{d}{2} $$ を満たし、スペクトル最小値付近での期待される指数的減衰が確認された。
• ブリーダー型ポテンシャル $W_\omega(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \chi_{]0,\lambda_k]}(x-k)$ に対して、$E_0 = 0$ であるため、$N(E) \leq e^{-\tilde{c} E^{-d/2}}$ が十分小さい $E > 0$ に対して成り立つ。
• テンプルの不等式の失敗を回避する手法が成功した。これは、周期的基底状態において一次および二次モーメントが等しくなるため、テンプルの不等式が機能しなくなるからである。
• チルリングの不等式は、$\alpha \tilde{S}_L / (5L^2)$ に比例する第一固有値の下界を提供し、これが漸近的解析に十分である。
• $\tilde{S}_L$ に対する大偏差推定により、確率の上界 $\mathbb{P}(\tilde{S}_L \leq \mathbb{E}[\tilde{S}_L]/2) \leq e^{-cL^d}$ が得られ、$L \sim \beta E^{-1/2}$ を選ぶことで、$e^{-\tilde{c} E^{-d/2}}$ に変換される。