[論文レビュー] Lifshitz Topological Black Holes

Robert B. Mann|ArXiv.org|May 7, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、負の宇宙定数を伴うアーベルゲージ場と結合した(3+1)次元重力理論において、Lifshitz型トポロジカルブラックホール解を構築し、相対論的でないLifshitz固定点へのAdS/CFT対応の一般化を試みる。大規模ブラックホールは位相依存性のない熱力学的性質を示すが、小規模ブラックホールは強い位相依存性を示し、高位相のブラックホールは有限な半径で極限状態に近づき、双対理論における位相依存性のあるスクリーニング臨界長を示す。

ABSTRACT

I find a class of black hole solutions to a (3+1) dimensional theory gravity coupled to abelian gauge fields with negative cosmological constant that has been proposed as the dual theory to a Lifshitz theory describing critical phenomena in (2+1) dimensions. These black holes are all asymptotic to a Lifshitz fixed point geometry and depend on a single parameter that determines both their area (or size) and their charge. Most of the solutions are obtained numerically, but an exact solution is also obtained for a particular value of this parameter. The thermodynamic behaviour of large black holes is almost the same regardless of genus, but differs considerably for small black holes. Screening behaviour is exhibited in the dual theory for any genus, but the critical length at which it sets in is genus-dependent for small black holes.

研究の動機と目的

• 任意のトポロジーを持つブラックホール解の構築を通じて、Lifshitzスケーリングを示す非相対論的量子臨界系へのAdS/CFT対応の拡張を図ること。
• ブラックホール断面の位相が、双対Lifshitz理論における熱力学的性質およびゲージスクリーニングに与える影響を調査すること。
• 高位相Lifshitzブラックホールに対して正確な解が存在するかを特定し、数値解および極限状態との比較を行うこと。
• ストリング配置を介した荷電粒子間相互作用のホログラフィックな振る舞いを分析し、特に双対理論におけるスクリーニングの発生メカニズムを解明すること。

提案手法

• アーベルゲージ場とトポロジカル結合を伴う(3+1)次元重力作用から場の運動方程式を導出し、z=2のLifshitz漸近的挙動を得る。
• 境界条件を課して、z=2スケーリングに対応するLifshitz計量 $ ds^2 = \ell^2(-r^{4}dt^2 + \frac{dr^2}{r^2} + r^2 d\mathbf{x}^2) $ に漸近する解を得る。
• 一般位相に対して方程式を数値的に解き、高位相の場合の特定のパラメータ値で正確な解が得られた。
• 境界上に点状荷電粒子が存在する場合のポテンシャルを、ホライズンに終端する最小面を用いてNambu-Goto作用から計算する。
• 異なる位相におけるスクリーニングが発生する臨界距離 $ L_c $ を比較し、ストリングの中点 $ r_m $ およびブラックホールのサイズに依存する挙動を分析する。
• 熱力学的解析を実施し、エントロピーと温度のスケーリング、さまざまなトポロジーにおける極限状態の条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 z=2のLifshitz重力背景において、球形でない断面（トーラス型または高位相）を持つブラックホール解は、どのように振る舞うか？
• RQ2 熱力学的量、特にエントロピーと温度がブラックホール断面の位相にどのように依存するか？
• RQ3 双対Lifshitz理論におけるゲージスクリーニングが発生する臨界長は何か？ これはブラックホールの位相およびサイズにどのように依存するか？
• RQ4 高位相の場合に正確なブラックホール解が得られるか？ また、数値解および極限状態との比較ではどのような特徴が現れるか？
• RQ5 境界上に存在する2つの荷電粒子間の距離がポテンシャルエネルギーに与える影響は何か？ また、2本のストリングがホライズンにまで伸びる状態が1本のストリングよりも有利になるのはいつか？

主な発見

• 大規模ブラックホールは、位相に依存しないほぼ同一の熱力学的性質を示し、さまざまなトポロジーにおいてエントロピーが同様にスケーリングする。
• 小規模ブラックホールは強い位相依存性を示す：位相1のブラックホールは線形なエントロピー-温度スケーリングを示すが、高位相ブラックホールは存在するための最小半径 $ r_h > 1/\sqrt{5} $ が必要となる。
• 高位相ブラックホールは $ r_0 = 1/\sqrt{5} $ で極限状態に近づき、ゲージ場が消え、質量が負になる。これは極限状態のAdSブラックホールに類似している。
• 高位相ブラックホールに対して正確な解が得られ、これは双対AdSブラックホールのゼロ質量極限に対応し、漸近的挙動がLifshitz計量と一致する。
• 小規模ブラックホールでは、双対理論におけるスクリーニング行動は位相に依存する：スクリーニングの臨界 $ r_m $ は異なる位相間でほぼ同一であるが、$ L $ に対する $ r_m $ の感度の違いにより、臨界境界距離 $ L_c $ は顕著に異なる。
• 大規模ブラックホールでは、メトリック関数が類似しているため、異なる位相間でスクリーニングの発生がほぼ同一に現れるが、小規模ブラックホールでは臨界長 $ L_c $ が位相に強く依存して変動する。