[論文レビュー] Lift & Project Systems Performing on the Partial Vertex Cover Polytope

Konstantinos Georgiou, Edward Lee|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、t-部分頂点被覆（t-PVC）多面体上におけるlift-and-project（L&P）システム—Sherali-Adams（SA）、Lovász-Schrijver-SDP（LS+）、Sherali-Adams-SDP（SA+）、Lasserre-SDP（La）—のほぼタイトな整数性ギャップ下界を確立する。任意の ε > 0 に対して、レベル-Θ(n) の緩和は、整数性ギャップが少なくとも (1−ε)n/t であることが示され、Lasserreシステムはレベル-1で超定数ギャップを示し、レベル-Θ(n) でも一般に超定数ギャップを示す。これは、t = O(n) のとき、これらの強力なLPおよびSDP階層が定数因子近似を証明できないことを示している。

ABSTRACT

We study integrality gap (IG) lower bounds on strong LP and SDP relaxations derived by the Sherali-Adams (SA), Lovász-Schrijver-SDP (LS_+), and Sherali-Adams-SDP (SA_+) lift-and-project (L&P) systems for the t-Partial-Vertex-Cover (t-PVC) problem, a variation of the classic Vertex-Cover problem in which only t edges need to be covered. t-PVC admits a 2-approximation using various algorithmic techniques, all relying on a natural LP relaxation. Starting from this LP relaxation, our main results assert that for every epsilon>0, level-Theta(n) LPs or SDPs derived by all known L&P systems that have been used for positive algorithmic results (but the Lasserre hierarchy) have IGs at least (1-epsilon)n/t, where n is the number of vertices of the input graph. Our lower bounds are nearly tight, in that level-n relaxations, even of the weakest systems, have integrality gap 1. As lift-and-project systems have given the best algorithms known for numerous combinatorial optimization problems, our results show that restricted yet powerful models of computation derived by many L&P systems fail to witness c-approximate solutions to t-PVC for any constant c, and for t=O(n). This is one of the very few known examples of an intractable combinatorial optimization problem for which LP-based algorithms induce a constant approximation ratio, still lift-and-project LP and SDP tightenings of the same LP have unbounded IGs. As further motivation for our results, we show that the SDP that has given the best algorithm known for t-PVC has integrality gap n/t on instances that can be solved by the level-1 LP relaxation derived by the LS system. This constitutes another rare phenomenon where (even in specific instances) a static LP outperforms an SDP that has been used for the best approximation guarantee for the problem at hand. Finally, we believe our results are of independent interest as they are among the very few known integrality gap lower bounds for LP and SDP 0-1 relaxations in which not all variables possess the same semantics in the underlying combinatorial optimization problem. Most importantly, one of our main contributions is that we make explicit of a new and simple methodology of constructing solutions to LP relaxations that almost trivially satisfy constraints derived by all SDP L&P systems known to be useful for algorithmic positive results (except the La system). The latter sheds some light as to why La tightenings seem strictly stronger than LS_+ or SA_+ tightenings.

研究の動機と目的

• lift-and-project（L&P）システムから導かれる強力なLPおよびSDP緩和のt-部分頂点被覆（t-PVC）問題における性能を分析すること。
• 既知のL&Pシステム—SA、LS+、SA+、La—のt-PVC多面体上における整数性ギャップ（IG）下界を確立すること。
• t = O(n) のとき、これらのシステムがt-PVCの定数因子近似を証明できるかどうかを調査すること。特に、t-PVCは標準的なLP緩和によって2-近似可能であることに注意。
• Lasserre階層の整数性ギャップ挙動を分析することで、他のL&Pシステムと比較してLasserre階層の相対的強さを調査すること。
• SAおよびLS+の緩和が満たすが、Lasserre階層が必ずしも満たさないような0-1割り当てのグローバル分布が存在することを示し、階層の強さの違いを解明すること。

提案手法

• すべての既知のSDP L&Pシステム（Lasserreを除く）が導く制約をほぼ自明に満たす分数解を構築する。これに、対称的な基本的な行および列の操作を用いて行列のサイズを縮小する。
• シュール補完および行列分解を用いて、Lasserre緩和行列を正定値成分の和と負定値項の和に表現する。
• シルベスターの基準および行列式解析を用いて、レベルkにおけるLasserレ緩和行列の正定値性を証明する。この際、二項係数から導かれる変換行列の行列式に依存する。
• コーシー・ビネの公式および行列式の漸近的解析を用いて、det(AAT) と det(BBT) を比較し、p ∈ o(1/n) の適切な選択に対して det(AAT) が支配的であることを示す。
• 二項係数を含む組合せ的恒等式を用いて det(W^T) = 1 を証明し、変換行列の行列式を正確に計算可能にする。
• パrameter p ∈ o(1/n) および p ∈ o(n^{-(k+1)/(k+2)}) の下での行列式の漸近的挙動を分析し、Lasserreがレベル-1およびレベル-Θ(n) で超定数ギャップを示すことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t = O(n) のとき、SA、LS+、SA+、La といったL&Pシステムから導かれる強力なLPおよびSDP緩和は、t-PVCに対して有界な整数性ギャップを達成するか？
• RQ2 Lasserre階層は、t-PVCにおける他のL&Pシステムで観察された整数性ギャップの制限を克服できるか？
• RQ3 特定のグローバル0-1割り当て分布がなぜSAおよびLS+の緩和を一貫して満たすが、Lasserre緩和を必ずしも満たさないのか？
• RQ4 t-PVCの文脈において、Lasserre階層と他のL&Pシステムとの間には根本的な強さの差があるのか？
• RQ5 t-PVCに対して整数性ギャップが2以下となる最小のレベル r = r(n,t) は何か？

主な発見

• 任意の ε > 0 に対して、SA、LS+、SA+、La システムから得られるレベル-Θ(n) のLPおよびSDP緩和は、t-PVC多面体上での整数性ギャップが少なくとも (1−ε)n/t である。
• t-PVCの標準的な0-1 LP緩和の整数性ギャップは n/t 以上であり、この境界は[15]のSDP緩和によっても達成される。
• Lasserreシステムはレベル-1でO(√n)の整数性ギャップを示し、レベル-Θ(n) では超定数ギャップを示す。これは、高レベルでもt-PVCの定数因子近似を達成できないことを示している。
• 解析により、0-1割り当てのグローバル分布が同時にすべてのSAおよびLS+緩和を満たすことが示され、これらのシステムの本質的な頑健性を示唆する。
• 同じ条件下でLasserre緩和を満たさない解が存在することから、Lasserre階層はLS+およびSA+システムよりも厳密に強いことが示された。
• これらの結果は、t = O(n) のとき、L&Pシステムに基づく制限付きかつ強力な計算モデルが、任意の定数cに対してt-PVCのc-近似解を証明できないことを示唆している。