[論文レビュー] Liftability of the Frobenius morphism and images of toric varieties

Piotr Achinger, Jakub Witaszek+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限エタール被覆の後、通常型アーベル多様体上にトーリックファイバーを持つファイブレーション構造と、$p^2$ を法としてフロベニウス準同型の持ち上げ可能性を結びつける予想を提示する。この予想がオッケッタとウィシュニエフスキーのトーリック多様体の像に関する予想を含意することを証明し、フロベニウス持ち上げ理論、変形理論、およびフロベニウス分岐化の手法を用いて、表面、ファノ3次元多様体、および一様空間において主な予想を検証する。

ABSTRACT

We formulate a conjecture characterizing smooth projective varieties in positive characteristic whose Frobenius morphism can be lifted modulo $p^2$ - we expect that such varieties, after a finite etale cover, admit a Zariski-locally trivial fibration with toric fibers over an ordinary abelian variety. We prove that this assertion implies a conjecture of Occhetta and Wiśniewski, which states that a smooth image of a projective toric variety is a toric variety. In order to deal with an important special case, we develop a logarithmic variant of the characterization of ordinary varieties with trivial tangent bundle due to Mehta and Srinivas. Furthermore, we verify our conjecture for surfaces, Fano threefolds, and homogeneous spaces (answering a question posed by Buch-Thomsen-Lauritzen-Mehta). Our proofs are based on a comprehensive theory of Frobenius liftings together with a variety of other techniques including deformation theory of rational curves and Frobenius splittings.

研究の動機と目的

• 正の特性における滑らかで射影的多様体のフロベニウス準同型が $p^2$ を法として持ち上がるような幾何的構造に関する予想を提示すること。
• フロベニウス持ち上げと、通常型アーベル多様体上にトーリックファイバーを持つ多様体のファイブレーションとの間の関係を確立すること。
• 提示された予想が、オッケッタとウィシュニエフスキーによる射影的トーリック多様体の像のトーリック性に関する予想を含意することを証明すること。
• 表面、ファノ3次元多様体、および一様空間という重要なケースにおいて、主な予想を検証すること。
• 接バンドルが自明な通常型多様体の特徴付けに関するメーハとスリニヴァスの定理の対数的バージョンを開発すること。

提案手法

• 有限エタール被覆の後、通常型アーベル多様体上にトーリックファイバーを持つザリスキ局所自明なファイブレーションの存在に関する予想を提示すること。
• 中心的な技術的道具として、フロベニウス持ち上げの包括的理論を用いること。
• 正の特性における幾何的構造を分析するために、有理曲線の変形理論を適用すること。
• 特異点と持ち上げを研究するために、フロベニウス分岐化の技法を用いること。
• 接バンドルが自明な通常型多様体のためのメーハ–スリニヴァスの基準の対数的バージョンを構築すること。
• これらの手法を古典的代数幾何学的手法と組み合わせ、特定のケースにおいて予想を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における滑らかで射影的多様体のフロベニウス準同型が $p^2$ を法として持ち上がるための条件は何か？
• RQ2 このような持ち上げが、有限エタール被覆の後、通常型アーベル多様体上にトーリックファイバーを持つファイブレーション構造を含意するか？
• RQ3 提示された予想が、オッケッタとウィシュニエフスキーの予想（射影的トーリック多様体の像のトーリック性）を含意するか？
• RQ4 表面、ファノ3次元多様体、および一様空間において、予想を検証できるか？
• RQ5 対数幾何学は、通常型多様体の特徴付けにおけるメーハ–スリニヴァスの基準をどのように拡張するか？

主な発見

• 提示された予想が、オッケッタとウィシュニエフスキーの予想を含意することを確認し、滑らかな準同型による射影的トーリック多様体の像が自明にトーリック多様体であることを裏付ける。
• 正の特性におけるすべての滑らかで射影的表面について、予想が検証された。
• ファノ3次元多様体についても予想が成立し、ブーチ、トーマーセン、ローリッツェン、メーハらが提起した問いに答えている。
• 一様空間についても予想が確認され、その一般性がさらに裏付けられた。
• 接バンドルが自明な通常型多様体の特徴付けに関するメーハ–スリニヴァスの基準の対数的バージョンが確立された。