[論文レビュー] Lifting for Simplicity: Concise Descriptions of Convex Sets

Hamza Fawzi, João Gouveia+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2020

Photochromic and Fluorescence Chemistry被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、凸集合のスラック作用素の構造的因子分解を用いて、凸集合のリフト（上昇）を構築・分析する統一的枠組みを提示する。特に、平方和（SOS）を用いたスペクトラヒーダルリフトに注目している。低複雑性のリフト（多面体的またはスペクトラヒーダル）の存在は、特定の因子分解性質と同値であることが確立され、顔の構造と代数的障害を用いた、このようなリフトの構成または非存在の証明に役立つ道具が提供される。

ABSTRACT

This paper presents a selected tour through the theory and applications of lifts of convex sets. A lift of a convex set is a higher-dimensional convex set that projects onto the original set. Many convex sets have lifts that are dramatically simpler to describe than the original set. Finding such simple lifts has significant algorithmic implications, particularly for optimization problems. We consider both the classical case of polyhedral lifts, described by linear inequalities, as well as spectrahedral lifts, defined by linear matrix inequalities, with a focus on recent developments related to spectrahedral lifts. Given a convex set, ideally we would either like to find a (low-complexity) polyhedral or spectrahedral lift, or find an obstruction proving that no such lift is possible. To this end, we explain the connection between the existence of lifts of a convex set and certain structured factorizations of its associated slack operator. Based on this characterization, we describe a uniform approach, via sums of squares, to the construction of spectrahedral lifts of convex sets and illustrate the method on several families of examples. Finally, we discuss two flavors of obstruction to the existence of lifts: one related to facial structure, and the other related to algebraic properties of the set in question. Rather than being exhaustive, our aim is to illustrate the richness of the area. We touch on a range of different topics related to the existence of lifts, and present many examples of lifts from different areas of mathematics and its applications.

研究の動機と目的

• 凸集合の簡潔なリフト（特にスペクトラヒーダルリフト）を構築する体系的アプローチを開発し、最適化におけるアルゴリズム的効率を向上させること。
• リフトの存在と、凸集合に関連するスラック作用素の構造的因子分解との間の関係を確立すること。
• 特に平方和による方法を用いて、凸集合のスペクトラヒーダルリフトを構成するための構成的手段を提供すること。
• 顔の構造と集合の代数的性質に基づいて、リフトの存在を妨げる障害を同定・分析すること。
• 多様な数学的・応用的文脈において、既存のリフトに関する結果（多面体的およびスペクトラヒーダルリフトを含む）を統合・拡張すること。

提案手法

• 凸集合のスラック作用素を中核的な対象とし、その非負の成分が極点から超平面への距離を表すように定義する。
• スラック行列の非負因子分解を用いて多面体的リフトの存在を特徴づけ、ヤナカキスの定理を一般化する。
• スラック作用素の正定値因子分解（psd因子分解）を用いてスペクトラヒーダルリフトの存在を特徴づけ、平方和表現と関連付ける。
• 特に多項式または代数的制約によって定義される凸集合に対して、平方和分解を用いてスペクトラヒーダルリフトを構築する。
• 階層的構成（例：シータ体）を用いて、代数的集合の凸包をスペクトラヒーダルリフトによって近似する。
• 顔の構造解析と多項式イデアルにおける次数の上限を用いて、小規模なリフトの存在に対する障害を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような凸集合が、元の記述よりも著しく単純なスペクトラヒーダルリフトを許容するか？
• RQ2 凸集合のどの構造的性質が、低複雑性の多面体的またはスペクトラヒーダルリフトの存在を決定づけるか？
• RQ3 平方和手法をどのように体系的に応用して、凸集合のスペクトラヒーダルリフトを構築できるか？
• RQ4 どのような代数的・幾何的障害が、特定の凸集合に対して小規模なリフトの存在を妨げるか？
• RQ5 凸集合の顔の構造と、そのリフトの複雑さの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 凸集合がスペクトラヒーダルリフトを持つための必要十分条件は、そのスラック作用素が正定値因子分解をもつことである。これは明確な代数的基準を提供する。
• 特に多項式不等式によって定義される凸集合に対しては、多項式の平方和分解を用いてスペクトラヒーダルリフトを体系的に構築できる。
• 顔の構造に基づく障害が存在する。例えば、顔が多すぎたり、顔のラティスが複雑すぎると、小規模なリフトは存在しない可能性がある。
• 多項式イデアルにおける次数の上限に基づく代数的障害が生じる。例えば、シェイダーの結果は、特定の非負多項式が平方和（SOS）に表現できないことを示しており、その結果、スペクトラヒーダルリフトが存在しないことを示唆する。
• 凸集合がリフトを許容するかどうかを決定する問題の計算複雑性は、NP困難であることが示されている。非負ランクおよび正定値ランクの計算への帰着によって示された。
• この理論は、鎖ポリトープやホーン錐、凸多項式の上位包のグラフなど、多様な例を統合・拡張しており、リフトに基づく表現の広範な適用可能性を示している。