[論文レビュー] Lifting Group Actions and Nonnegative Curvature

Karsten Grove, Wolfgang Ziller|ArXiv.org|Jan 5, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非負の曲率を持つ単連結4次元多様体—具体的には $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$、$\mathbb{S}^{2}\times\mathbb{S}^{2}$、および $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}\#{-}\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$—の上でのベクトル束が、非負の断面曲率を持つ完備計量をいつでも持つかを調査する。共変性1の群作用を用いて主束上に不変計量を構成し、群作用の上り上げ条件を解析することで、$\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$ 上の第二ステイフェル＝ブリトニィ類 $w_2$ が非自明なすべてのベクトル束が、このような計量を持つことが示され、$w_2=0$ かつ $p_1 \equiv 0 \pmod{8}$ を満たす3次元束の半分も同様にそうである。また、ファイバー次元が5以上の場合、すべてのこのような束が非負曲率を持つ。

ABSTRACT

We show that all vector bundles over CP^2 which are not spin admit a complete metric with nonnegative sectional curvature. In the proof we construct a nonnegatively curved metric on the corresponding principle bundle by showing that it admits a cohomogeneity one action with singular orbits of codimension 2. This is closely related to the problem of when an action of G on the base of an L principle bundle lifts to the total space, such that the lift commutes with L. We solve this lifting problem for all SO(k) principle bundles over a 4-dimensional simply connected base B with G a cohomogeneity one action on B.

研究の動機と目的

• 非負の断面曲率を持つ完備計量をもつベクトル束が、非負曲率を持つ単連結4次元多様体上にいつ存在するかを特定すること。
• コンパクトで非負曲率を持つ多様体に有限な基本群を持つベクトル束に対して、ソール定理の逆が成り立つかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 共変性1の方法を用いて非負曲率計量を構成する手法を、$\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$、$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$、および $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2\#{-}\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ の上での主束へ拡張すること。
• これらの多様体上の主 $\operatorname{SO}(k)$-束が、共変性1の群作用を上昇させられるかどうかを分類し、曲率を保つ構成を可能にする。

提案手法

• 特異軌道のcodimensionが2である共変性1の群作用を用いて、主束上に非負曲率の不変計量を構成すること。
• リーマン的準同型の曲率増加性を用いて、主束から関連するベクトル束への非負曲率の転送を行うこと。
• Mayer-Vietoris系列と特性類を用いて、基底多様体からの $\operatorname{SO}(3)$-作用の主束上への上昇を解析すること。
• Mayer-Vietoris系列におけるホモロジーおよびコホモロジー計算を通じて、第一ポントリャーギン類 $p_1$ および第二ステイフェル＝ブリトニィ類 $w_2$ を計算すること。
• 特性類による位相的障害を用いて、どの束が上昇を許し、したがって非負曲率計量を持つのかを特定すること。
• 既知の結果として、群作用の可換な上昇と $\operatorname{SU}(2)$ および $\operatorname{SO}(k)$ の表現論による束の分類を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上のどのベクトル束が非負曲率の完備計量を持つか？
• RQ2 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上の共変性1の $\operatorname{SO}(3)$-作用が、主 $\operatorname{SO}(k)$-束に上昇する条件は何か？
• RQ3 特性類、特に $w_2$ と $p_1$ は、関連束上の非負曲率計量の存在にどのような役割を果たすか？
• RQ4 ファイバー次元が、特に $k \geq 5$ の場合、このような計量の存在にどのように影響するか？
• RQ5 第二ステイフェル＝ブリトニィ類 $w_2 = 0$ である単連結4次元多様体上のベクトル束に対して、非負曲率計量の存在に位相的障害はあるか？

主な発見

• $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$ 上の第二ステイフェル＝ブリトニィ類 $w_2$ が非自明なすべてのベクトル束は、非負断面曲率の完備計量を持つ。
• 3次元ベクトル束で $w_2 = 0$ かつ $p_1 \equiv 0 \pmod{8}$ を満たすものについては、それらが非負曲率計量を持つ。また、ファイバー次元が5以上の場合、すべてのこのような束が非負曲率を持つ。
• 複素ランク2のベクトル束について、$\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上では第一チェーン類 $c_1$ が奇数、または $c_1$ が偶数で判別式 $\Delta = c_1^2 - 4c_2$ が $\Delta \equiv 0 \pmod{8}$ を満たす場合、非負曲率計量が存在する。
• $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 上の $\operatorname{SU}(2)$-作用が固定点を持つとき、主 $\operatorname{SO}(3)$-束に上昇するための必要十分条件は、ある整数 $q$ に対して $p_1 = q^2$ または $p_1 = \pm(q^2 - 4)$ となることである（命題5.6による）。
• $k=3$ または $k \geq 5$ の場合、$\mathbb{S}^4$ 上の主 $\operatorname{SO}(k)$-束の第一ポントリャーギン類は $p_1 = \pm(\sum m_i^- - \sum m_i^+)$ であり、反転写像によって符号を反転させることができる。
• $\mathbb{S}^4$ 上の $k=4$ ベルトの上昇分類は、$\operatorname{SO}(4)$ の外部自己同型群に依存し、自明束と接束は異なる表現から生じる。