[論文レビュー] Lifting KK-elements, asymptotical unitary equivalence and classification of simple C*-algebras

Huaxin Lin, Zhuang Niu|ArXiv.org|Feb 11, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、tracial rank が 0 である単位的、単純、Z-安定な C*-代数の完全分類を、KK 要素の上げ上げ問題を解き、単位的単射の漸近的ユニタリ同値性を特徴付けることで確立する。単位的 AH-代数 $ C $ から単位的単純 C*-代数 $ A $ への単位的単射が、その KK-類、誘導されたトレース状態写像、回転写像によって漸近的ユニタリ同値に関して分類可能であることが示され、Z-安定な C*-代数の完全な同型分類が、Elliott 不変量が同型である場合に得られる。

ABSTRACT

Let $A$ and $C$ be two unital simple C*-algebas with tracial rank zero. Suppose that $C$ is amenable and satisfies the Universal Coefficient Theorem. Denote by ${KK}_e(C,A)^{++}$ the set of those $κ$ for which $κ(K_0(C)_+\setminus\{0\})\subset K_0(A)_+\setminus\{0\}$ and $κ([1_C])=[1_A]$. Suppose that $κ\in {KK}_e(C,A)^{++}.$ We show that there is a unital monomorphism $ϕ: C o A$ such that $[ϕ]=κ.$ Suppose that $C$ is a unital AH-algebra and $λ: \mathrm{T}(A) o \mathrm{T}_{\mathtt{f}}(C)$ is a continuous affine map for which $τ(κ([p]))=λ(τ)(p)$ for all projections $p$ in all matrix algebras of $C$ and any $τ\in \mathrm{T}(A),$ where $\mathrm{T}(A)$ is the simplex of tracial states of $A$ and $\mathrm{T}_{\mathtt{f}}(C)$ is the convex set of faithful tracial states of $C.$ We prove that there is a unital monomorphism $ϕ: C o A$ such that $ϕ$ induces both $κ$ and $λ.$ Suppose that $h: C o A$ is a unital monomorphism and $γ\in \mathrm{Hom}(\Kone(C), \aff(A)).$ We show that there exists a unital monomorphism $ϕ: C o A$ such that $[ϕ]=[h]$ in ${KK}(C,A),$ $τ\circ ϕ=τ\circ h$ for all tracial states $τ$ and the associated rotation map can be given by $γ.$ Applications to classification of simple C*-algebras are also given.

研究の動機と目的

• tracial rank が 0 である C*-代数の文脈において、KK 要素を単位的単射に上げ上げるという未解決問題を解くこと。
• 単位的 AH-代数 $ C $ から単位的単純 C*-代数 $ A $ への単位的単射の漸近的ユニタリ同値性を特徴付けること。
• 単純 C*-代数の分類における $ K $-理論およびトレースを分離する射影に関する制限を除去すること。
• Elliott 不変量と tracial rank 条件を用いて、単位的、可分、単純、$ \mathcal{Z} $-安定な C*-代数の完全分類定理を確立すること。

提案手法

• 単位的単純 C*-代数 $ A $ および $ C $ が tracial rank 0 で、$ C $ が UCT を満たし、$ C $ がアメニタリであると仮定する。このとき、任意の $ \kappa \in {KK}_e(C,A)^{++} $ が、$ [\phi] = \kappa $ を満たす単位的単射 $ \phi: C \to A $ に上げ上げられることを証明する。
• 単位的単射 $ C \to A $ の漸近的ユニタリ同値類と、集合 $ (KKT(C,A)^{++}, \mathrm{Hom}(K_1(C), \mathrm{Aff}(T(A)))/\mathcal{R}_0) $ の間の自然な全単射を確立する。ここで $ \mathcal{R}_0 $ は回転写像が 0 になる部分群である。
• 文献 [15] の漸近的ユニタリ同値の理論を用いて、分類を KK-類、トレース状態写像、回転写像の完全なデータに結びつける。
• 上げ上げ結果を応用して、二つの単位的 $ \mathcal{Z} $-安定な C*-代数が、それらの Elliott 不変量が同型であり、任意の UHF-代数とのテンソル積の tracial rank が 0 である場合に同型であることを示す。
• Winter [24] の結果と、一意的なトレース状態をもつ型 I C*-代数の帰納的極限の構造を活用して、有限生成 $ K $-理論を超える分類を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的単純 C*-代数 $ A $ および $ C $ が tracial rank 0 で、$ C $ が UCT を満たすとき、任意の $ \kappa \in {KK}_e(C,A)^{++} $ が、単位的単射 $ \phi: C \to A $ の KK-類として実現可能か？
• RQ2 二つの単位的単射 $ \phi, \psi: C \to A $ が漸近的ユニタリ同値であるための条件は何か？
• RQ3 与えられた回転写像 $ \gamma \in \mathrm{Hom}(K_1(C), \mathrm{Aff}(T(A))) $ が、固定された KK-類およびトレース状態写像を持つ単位的単射 $ \phi: C \to A $ によって実現可能か？
• RQ4 単位的、可分、単純、$ \mathcal{Z} $-安定な C*-代数が、一意的なトレース状態をもつ型 I 代数の帰納的極限である場合、Elliott 不変量の同型が同型を意味するか？
• RQ5 任意の UHF-代数とのテンソル積が tracial rank 0 になる場合、単位的 $ \mathcal{Z} $-安定な C*-代数の分類は完全か？

主な発見

• 任意の $ \kappa \in {KK}_e(C,A)^{++} $ が、単位的単射 $ \phi: C \to A $ に上げ上げられることを示し、tracial rank 0 の C*-代数における長年の上げ上げ問題を解決する。
• 単位的単射 $ C \to A $ の漸近的ユニタリ同値類は、集合 $ (KKT(C,A)^{++}, \mathrm{Hom}(K_1(C), \mathrm{Aff}(T(A)))/\mathcal{R}_0) $ と自然に全単射である。これは完全な分類不変量を提供する。
• 二つの単位的 $ \mathcal{Z} $-安定な C*-代数が、それらの Elliott 不変量が同型であり、任意の UHF-代数とのテンソル積の tracial rank が 0 である場合に同型である。
• 一意的なトレース状態をもつ型 I 代数の帰納的極限である単位的、可分、単純、$ \mathcal{Z} $-安定な C*-代数では、同型性が Elliott 不変量の同型と同値である。
• 分類は有限生成 $ K $-理論やトレースを分離する射影に関する制限を除去し、文献における先行研究の主要な制限を解消する。