[論文レビュー] Lifting mappings over invariants of finite groups

Andreas Kriegl, Mark Losik+2 more|ArXiv.org|Dec 1, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素有限群表現の軌道空間 $V/G$ から表現空間 $V$ への正則的・正則的・形式的写像の持ち上げについて、ジャンプ空間とルーナの等方的型の層化を用いて、必要十分条件を確立する。主な貢献は、不変量から導かれるテンソル場を用いて持ち上げ障害を完全に特徴化することであり、特に二面体群を含む複素反射群について明示的な計算が行われている。

ABSTRACT

We characterize those regular, holomorphic or formal maps into the orbit space $V/G$ of a complex representation of a finite group $G$ which admit a regular, holomorphic or formal lift to the representation space $V$. In particular, the case of complex reflection groups is investigated.

研究の動機と目的

• 複素ベクトル空間 $V$ における有限群作用の軌道空間 $V/G$ への正則的・正則的・形式的写像が $V$ に持ち上げられる条件を特定すること。
• 特に複素設定において、ルーナの等方的型の層化が持ち上げ問題に与える役割を理解すること。
• ジャンプ空間 $J^q_0(\bbC^p, Z)$ と $J^\fz_0(\bbC^p, Z)$ を用いた一般枠組みを構築し、原点における持ち上げ条件を分析すること。
• 二面体群や $\mathfrak{D}_l$-加群 $\bbC^2$ を含む複素反射群について、持ち上げ障害を明示的に計算すること。
• 複素数体上に定式化された代数的持ち上げ条件が、レフシェッツの原理により任意の零標数体へ拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• 群 $G$ の作用による軌道空間 $Z = V/G$ のルーナの層化を、等方的部分群 $K \leq G$ でインデックスづけられた局所的閉、滑らかで、既約な部分多様体 $Z_{(K)}$ に分割する。
• 原点における写像の高次テイラー情報を符号化するため、ジャンプ空間 $J^q_0(\bbC^p, Z)$ と $J^\fz_0(\bbC^p, Z)$ を導入する。
• 不変量の微分を介して持ち上げ障害を符号化するテンソル場 $\tilde{T}(A_1,\dots,A_d)$ と $\tilde{\frak{T}}(A_1,\dots,A_d)$ を定義する。
• 不変多項式および対称テンソルの理論を応用し、$\sigma_{1,2}$、$\sigma_{2,s}$ および関連するジャンプテンソルの明示的表現を計算する。
• $\bbC[V]^G$ の基本不変量 $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_m$ を用いて、局所座標における障害テンソルを構成する。
• $\tilde{\Delta} = (\operatorname{I}z^l)^2$ および $z^l = \operatorname{R}z^l + i\operatorname{I}z^l$ を用いて、特に $\mathfrak{D}_l$-不変加群において、持ち上げ条件をジャンプ延長に関する代数的制約に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則的・正則的・形式的写像 $\bbC^p \to Z = V/G$ の原点近傍のジェームが $V$ に持ち上げられるための条件は何か？
• RQ2 軌道空間 $Z = V/G$ の等方的型の層化は、持ち上げの存在にどのように影響するか？
• RQ3 複素反射群の場合における、明示的な代数的・微分的持ち上げ障害は何か？
• RQ4 持ち上げ問題は、有限次のジャンプ空間に関する条件に還元可能か？ もしそうならば、どの次数で十分か？
• RQ5 テンソル場 $\sigma_{1,2}$ と $\sigma_{2,s}$ は、二面体群の場合の持ち上げ障害をどのように符号化しているか？

主な発見

• 正則的または正則的写像 $\bbC^p \to Z = V/G$ の持ち上げは、その原点におけるジャンプ延長が不変量から導かれるある種のテンソリアル条件を満たす場合に限り可能である。
• $\mathfrak{D}_l$-加群 $\bbC^2$ に対して、1次持ち上げ障害はテンソル場 $\sigma_{1,2} = \frac{1}{\tilde{\Delta}}(2^{l-1}y_1^{l-1}dy_1^2 - 2ly_2 dy_1 dy_2 + 2y_1 dy_2^2)$ に符号化され、ここで $\tilde{\Delta} = (\operatorname{I}z^l)^2$ である。
• $s = 2r$ のとき、$2r$ 次の障害テンソル $\sigma_{2,2r}$ は $\frac{(-1)^r}{\tilde{\Delta}^r} \Bigl( y_2 dy_2^{2r} + \sum_{t=1}^{2r} \cdots \Bigr)$ で与えられ、二項係数および $y_1, y_2, \tilde{\Delta}$ の累乗を含む。
• $s = 2r+1$ のとき、障害テンソル $\sigma_{2,2r+1}$ は $\frac{(-1)^r}{l \tilde{\Delta}^r} \Bigl( dy_2^{2r+1} + \sum_{t=2}^{2r+1} \cdots \Bigr)$ であり、$\tilde{\Delta}^{u-1}$ と $\operatorname{R}z^l, \operatorname{I}z^l$ の対称組み合わせを含む項が含まれる。
• $\mathfrak{D}_l$ の持ち上げ問題は、恒等式 $\tilde{\Delta} = (\operatorname{I}z^l)^2$、$z^l = \operatorname{R}z^l + i\operatorname{I}z^l$、および $\widehat{z}^l = \operatorname{R}z^l - i\operatorname{I}z^l$ を用いて、論文の最初の例に還元可能である。
• 結果は、持ち上げ条件が代数的であり $\bbQ$ 上に定義されるため、レフシェツの原理により任意の零標数体へ拡張可能である。