[論文レビュー] Lifting of $\mathbb{RP}^{d-1}$-valued maps in $BV$ and applications to uniaxial $Q$-tensors. With an appendix on an intrinsic $BV$-energy for manifold-valued maps

Radu Ignat, Xavier Lamy|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、実射影空間 $\mathbb{RP}^{d-1}$ に値をとる写像に対して有界変動 (BV) リフティングの存在を確立し、任意の $u \in BV(\Omega; \mathbb{RP}^{d-1})$ が、最適な $BV$-推定式を満たす $n \in BV(\Omega; \mathbb{S}^{d-1})$ にリフティング可能であることを証明する。この結果は、液体結晶理論における一軸性 $Q$-テンソルに応用され、埋め込みに依存しない新しい近似スキームを用いて、多様体値写像の内在的 $BV$-エネルギー式が導出される。

ABSTRACT

We prove that a $BV$ map with values into the projective space $\mathbb{RP}^{d-1}$ has a $BV$ lifting with values into the unit sphere $\mathbb S^{d-1}$ that satisfies an optimal $BV$-estimate. As an application to liquid crystals, this result is also stated for $BV$ maps with values into the set of uniaxial $Q$-tensors. In order to quantify $BV$ liftings, we prove an explicit formula for an intrinsic $BV$-energy of maps with values into any compact smooth manifold.

研究の動機と目的

• 跳躍や特異性の存在によって制限される正則性のもとで、$\mathbb{RP}^{d-1}$ に値をとる $BV$ 写像のリフティング問題を解決すること。
• このような写像の球面 $\mathbb{S}^{d-1}$ へのリフティングに対して最適な $BV$-推定式を確立し、全 Variation が制御されることを保証すること。
• 液体結晶における一軸性 $Q$-テンソルに、この特定の物理的文脈においてリフティング結果を適用して理論を拡張すること。
• 等長埋め込みに依存しない、コンパクトで滑らかな多様体に値をとる写像の内在的 $BV$-エネルギーを定義し、計算すること。
• ターゲット多様体の内在的 Riemannian 構造を用いて、$BV$ 写像におけるジャンプコストの幾何学的に整合性のある測度を定義すること。

提案手法

• 局所近似スキームを用いて、$u \in BV(\Omega; \mathbb{RP}^{d-1})$ のリフティング $n \in BV(\Omega; \mathbb{S}^{d-1})$ を構成し、切り捨て関数と回転場を用いる。
• 径数核 $\rho_\varepsilon$ を用いた滑らか化手続きを採用し、$L^1$ 収束と全 Variation の制御を保証する。
• リフティング過程におけるジャンプ寄与を定量化するための測度族 $m_\omega^\varepsilon$ を導入し、$u(x)$ と $u(x - r\omega)$ 間の距離に依存する。
• Fatou の補題と方向 $\omega \in \mathbb{S}^{N-1}$ における極限的議論を用いて、極限に移行し、リフティングの全 Variation を有界化する。
• 測度 $m_\omega^\varepsilon$ の極限を分析することで、埋め込みに依存しない幾何学的に意味のあるジャンプコストを有する、内在的 $BV$-エネルギー式を導出する。
• 一軸性 $Q$-テンソルに理論を適用する際、それらを $\mathbb{RP}^{d-1}$-値写像と同一視し、リフティングおよびエネルギー推定式を継承する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\mathbb{RP}^{d-1}$-値 $BV$ 写像は、正則性の最適な境界を保ちつつ、$\mathbb{S}^{d-1}$-値 $BV$ 写像へのリフティングが可能か？
• RQ2 多様体値写像の内在的 $BV$-エネルギーとは何か？ また、等長埋め込みに依存せずにどのように計算できるか？
• RQ3 ジャンプ部分の Variation は、リフティングの過程でどのように振る舞い、ターゲット多様体上の幾何学的距離を用いて定量化可能か？
• RQ4 液体結晶における一軸性 $Q$-テンソルは、$\mathbb{RP}^{d-1}$-値場としてモデル化されているが、リフティング結果はこれに拡張可能か？
• RQ5 コンパクトな Riemannian 多様体に値をとる $BV$ 写像に対して、埋め込みに依存せず、幾何学的に整合性のある Variation 測度を定義可能か？

主な発見

• 任意の $u \in BV(\Omega; \mathbb{RP}^{d-1})$ は、$n \in BV(\Omega; \mathbb{S}^{d-1})$ にリフティング可能であり、$n$ の全 Variation は $u$ の全 Variation の定数倍で有界であり、その定数は $d$ のみに依存する。
• リフティングは最適な $BV$-推定式を満たしており、一般には改善できない、上限が達成された形である。
• 任意のコンパクトで滑らかな多様体に値をとる写像の内在的 $BV$-エネルギーの明示的公式が、測地線距離と方向平均化手続きを用いて導出される。
• ジャンプ部分の Variation が、埋め込み空間におけるユークリッド距離ではなく、ジャンプ集合をはさんで値が離れている多様体上の測地線距離に依存することが示された。
• 一軸性 $Q$-テンソルに対しては、リフティング結果により、方向選択の下でも $BV$-正則性が保たれることを示し、これは液体結晶欠陥のモデル化にとって重要である。
• 埋め込みに依存しない内在的 $BV$-エネルギーが、拡散部分の不変性とジャンプコストの幾何学的定式化によって、その独立性が実証された。