[論文レビュー] Lifting smooth curves over invariants for representations of compact Lie groups, III

Andreas Kriegl, Mark Losik+2 more|ArXiv.org|Apr 6, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、実有限次元内積空間 $V$ 上の有限群作用の軌道空間 $V/G$ 内の任意の十分に滑らかな曲線が、ある正則性条件 ($\mathcal{B}_k$) を満たす表現である限り、局所的に有界な微分を持つ $V$ 上への微分可能上に押し上げられることを確立している。主な結果として、曲線が $C^{k+d}$ であればその上に押し上げられた曲線は $C^1$ であり、$C^{k+2d}$ であれば2回微分可能であることが示され、ここで $d$ は同次不変式の最大次数である。これは既知の対称群の場合の結果を拡張し、すべての有限反射群および回転群に適用可能である。

ABSTRACT

Any sufficiently often differentiable curve in the orbit space $V/G$ of a real finite-dimensional orthogonal representation $G o O(V)$ of a finite group $G$ admits a differentiable lift into the representation space $V$ with locally bounded derivative. As a consequence any sufficiently often differentiable curve in the orbit space $V/G$ can be lifted twice differentiably. These results can be generalized to arbitrary polar representations. Finite reflection groups and finite rotation groups in dimensions two and three are discussed in detail.

研究の動機と目的

• 有限群表現の軌道空間における滑らかな曲線の押し上げ結果を、対称群の場合から一般の有限群へ拡張すること。
• $V/G$ 内の $C^k$-曲線が $V$ 上へ微分可能に押し上げられ、導関数が局所的に有界となるような条件を確立すること。
• このような押し上げが、曲線が $C^{k+d}$ であれば $C^1$ に、$C^{k+2d}$ であれば2回微分可能に、$d$ は同次不変式の最大次数であることを証明すること。
• 極座標表現およびすべての有限反射群・回転群が要求される正則性条件 ($\mathcal{B}_k$) を満たすことを確認すること。
• 有限群表現の部分表現および直交直和に関して、性質 $\mathcal{B}_k$ が保存されることを示すこと。

提案手法

• $C^k$-曲線の局所的微分可能押し上げとその導関数の局所的有界性を保証する性質 $(\mathcal{B}_k)$ を導入し、その分析を行う。
• $\mathbb{R}[V]^G$ の同次生成子の最大次数 $d$ を、押し上げの正則性閾値の主要パラメータとして用いる。
• ブラウンシュタインと若林の結果（$C^n$-曲線の多項式の根の微分可能パrameter化）を用いて多項式の場合への還元を適用する。
• すべての有限群表現に対して $\mathcal{B}_k$ が成り立つことを、各非ゼロベクトル $v_i$ における $k = \max\{d, |G|/|G_{v_i}|\}$ を計算することで証明する。
• 2次元および3次元の有限反射群および回転群に対して、明示的な群構造と安定化部分群データを用いて $\mathcal{B}_k$ を検証する。
• 表現の構造的分解を用いて、直交直和および部分表現に関して $\mathcal{B}_k$ の安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $V/G$ 内の曲線がどのような正則性条件下で、導関数が局所的に有界となる微分可能押し上げを $V$ 上に持つか？
• RQ2 $V/G$ 内の $C^{k+d}$-曲線に対して、その微分可能押し上げが $C^1$ に保証されるか？
• RQ3 $V/G$ 内の $C^{k+2d}$-曲線に対して、常に2回微分可能な押し上げが存在するか？また、これは不変式次数 $d$ にどのように依存するか？
• RQ4 すべての有限反射群および回転群が性質 $(\mathcal{B}_k)$ を満たすか？また、この性質が成り立つ最小の $k$ は何か？
• RQ5 有限群表現の直交直和および部分表現に関して、性質 $(\mathcal{B}_k)$ は安定か？

主な発見

• 表現が性質 $(\mathcal{B}_k)$ を満たす限り、$V/G$ 内の任意の $C^k$-曲線は、導関数が局所的に有界となる $V$ 上への微分可能押し上げを持つ。
• 性質 $(\mathcal{B}_k)$ を満たす表現に対して、$V/G$ 内の $C^{k+d}$-曲線は $V$ 上へ $C^1$ 押し上げが可能である。
• $V/G$ 内の $C^{k+2d}$-曲線は、性質 $(\mathcal{B}_k)$ を満たす表現に対して、$V$ 上へ2回微分可能な押し上げを持つ。
• 2次元および3次元のすべての有限反射群および有限回転群は、$k = d$（同次不変式の最大次数）で性質 $(\mathcal{B}_k)$ を満たす。
• 性質 $(\mathcal{B}_k)$ は、有限群表現の直交直和および部分表現に関して安定である。
• $C^k$-曲線が微分可能押し上げを持つために必要な最小正則性は $C^d$ であり、結果の境界の鋭さによりこれが示されている。