[論文レビュー] Lifting Theorems and Smooth Profinite Groups

Charles De Clercq, Mathieu Florence|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、分割冪とポンティリャーギン双対性を用いて、ウィット環上の加群に対する標準的リフトフレームワークを導入し、$p$-主係数をもつ滑らかなプロ有限群のコホモロジーに対する安定的リフト定理を確立する。主な貢献は、写像 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ に対する一般の降下結果であり、ブロッハ＝カト予想の明示的証明に基礎的な道具を提供する。

ABSTRACT

This work is motivated by the search for an "explicit" proof of the Bloch-Kato conjecture in Galois cohomology, proved by Voevodsky. Our concern here is to lay the foundation for a theory that, we believe, will lead to such a proof- and to further applications. Let p be a prime number. Let k be a perfect field of characteristic p. Let m be a positive integer. Our first goal is to provide a canonical process for "lifting" a module M, over the ring of Witt vectors $W_m(k)$ (of length m), to a $W_{m+1}(k)$-module, in a way that deeply respects Pontryagin duality. These are our big, medium and small Omega powers, each of which naturally occurs as a direct factor of the previous one. In the case where M is a k-vector space, they come equipped with Verschiebung and Frobenius operations. If moreover the field k is finite, Omega powers are endowed with a striking extra operation: the Transfer, to shifted Omega powers of finite-codimensional linear subspaces. To show how this formalism fits into Galois theory, we first offer an axiomatized approach to Hilbert's Theorem 90 (or more precisely, to its consequence for cohomology with finite coefficients: Kummer theory). In the context of profinite group cohomology, we thus define the notions a cyclotomic G-module, and of a smooth profinite group. We bear in mind that the fundamental example is that of an absolute Galois group, together with the Tate module of roots of unity. We then define the notion of exact sequences of G-modules of Kummer type. To finish, we give applications of this formalism. The first ones are the Stable Lifting Theorems, enabling the lifting to higher torsion in the cohomology of smooth profinite groups, with p-primary coefficients. We finish by an application to p-adic deformations. We state and prove a general descent statement, for the quotient map $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

研究の動機と目的

• ウィット環 $\mathbf{W}_m(k)$ 上の加群を $\mathbf{W}_{m+1}(k)$ 上にポンティリャーギン双対性を保つように標準的にリフトするプロセスの開発。
• フロベニウスおよびバーサヴィェイブルグ作用を伴う関手的構成としてのオメガ冪（大、中、小）の定義と研究。
• プロ有限群コホモロジーの文脈においてヒルベルトの定理90を公理化し、巡回的 $G$-加群および滑らかなプロ有限群を導入。
• $p$-主係数をもつガロアコホモロジーに対する安定的リフト定理を確立し、特に $p$-進変形の文脈で考察。
• $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の商写像に対する一般の降下ステートメントを証明し、リフトと降下を新規に結びつける。

提案手法

• 分割冪を用いて、$\mathbf{W}_m(k)$-加群上のオメガ冪（大、中、小）を互いに直接因子として構成。
• 加群 $M$ が $k$-ベクトル空間であるとき、これらのオメガ冪にフロベニウスおよびバーサヴィェイブルグ作用を導入。
• $k$ が有限体であるとき、有限余次元部分空間に対してオメガ冪上のトランスファー作用を導入。
• ポンティリャーギン双対性を適用し、オメガ冪とその双対の間の標準的双対性を保証。
• ガロアコホモロジーにインspiredされた公理を用いて、巡回的 $G$-加群および滑らかなプロ有限群を定義。
• $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の写像に対する降下結果（命題 17.9）を証明し、$2$-平坦環がフロベニウスをリフトするための必要十分条件として、$\gamma_p$ がフロベニウスの核を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポンティリャーギン双対性を保ちながら、$\mathbf{W}_m(k)$-加群を $\mathbf{W}_{m+1}(k)$-加群に標準的にリフトする方法は何か？
• RQ2 分割冪およびオメガ冪は、$p$-主係数コホモロジーの安定的リフト定理を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 $k$-ベクトル空間の文脈において、フロベニウスおよびバーサヴィェイブルグ作用はオメガ冪構成とどのように作用するか？
• RQ4 有限体の文脈において、トランスファー作用はオメガ冪の双対構造に対する自然な精密化であるとみなせるのはどのような意味か？
• RQ5 写像 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ に対して一般の降下ステートメントを定式化できるか？また、それは $p$-進変形とどのように関係するか？

主な発見

• 安定的リフト定理（定理 16.2 および 16.3）は、滑らかなプロ有限群における $p$-主係数をもつコホモロジー類をリフトするためのメカニズムを提供する。
• 補題 16.4 は、第二の安定的リフト定理を、2次元ガロア表現値をとるガロアコホモロジーに関する明示的記述に翻訳する。
• 命題 17.9 は、写像 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ に対する降下結果を確立し、$2$-平坦環がフロベニウスをリフトするための必要十分条件として、$\gamma_p$ がフロベニウスの核を保存することを示す。
• 命題 17.11 の同値性は、$A$ 上にフロベニウスのリフトが存在するための必要十分条件が、$\gamma_p$ が $\mathrm{Ker}(\mathrm{Frob}_A)$ を自身に写すことであることを示す。
• $I = \mathrm{Ker}(\mathrm{Frob}_A)$ に $PD$-イデアル構造が存在することは、$\gamma_p$ が $I$ を保存することと同値であり、$\gamma_p$ によって一意に決定される。
• $I = I^2$ であるとき、$\gamma_p(I) \subset I$ ならば $\gamma_p = 0$ となり、$A$ が $\mathbb{F}_p$ 上で完全であることが強制される。