[論文レビュー] Lifting to Parity Decision Trees Via Stifling

Arkadev Chattopadhyay, Nikhil S. Mande+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、通信複雑性における定数サイズのガジェットに対して「スティーリング（stifling）」の概念を導入し、任意のk-スティーリングガジェットが決定木複雑度からパリティ決定木（PDT）サイズ複雑度へのリフトを可能にすることを証明している。主な結果は、k-スティーリングガジェットgに対してPDTsize(f ◦ g) ≥ 2^{DT(f)} · kが成り立つことであり、定数幅のCNF式における解像度幅からRes(⊕)証明サイズへの下界のリフトを初めて体系的に行う手法を可能にする。

ABSTRACT

We show that the deterministic decision tree complexity of a (partial) function or relation f lifts to the deterministic parity decision tree (PDT) size complexity of the composed function/relation f∘g as long as the gadget g satisfies a property that we call stifling. We observe that several simple gadgets of constant size, like Indexing on 3 input bits, Inner Product on 4 input bits, Majority on 3 input bits and random functions, satisfy this property. It can be shown that existing randomized communication lifting theorems ([Göös, Pitassi, Watson. SICOMP'20], [Chattopadhyay et al. SICOMP'21]) imply PDT-size lifting. However there are two shortcomings of this approach: first they lift randomized decision tree complexity of f, which could be exponentially smaller than its deterministic counterpart when either f is a partial function or even a total search problem. Second, the size of the gadgets in such lifting theorems are as large as logarithmic in the size of the input to f. Reducing the gadget size to a constant is an important open problem at the frontier of current research. Our result shows that even a random constant-size gadget does enable lifting to PDT size. Further, it also yields the first systematic way of turning lower bounds on the width of tree-like resolution proofs of the unsatisfiability of constant-width CNF formulas to lower bounds on the size of tree-like proofs in the resolution with parity system, i.e., Res(⊕), of the unsatisfiability of closely related constant-width CNF formulas.

研究の動機と目的

• 小さな定数サイズのガジェットを用いて、決定木複雑度からパリティ決定木サイズ複雑度へのリフト定理を確立すること。
• 従来の確率的リフト定理が対数サイズのガジェットを必要としたのに対し、定数サイズのガジェットによるリフトを達成するという未解決問題を解決すること。
• 定数幅のCNF式における解像度証明幅の下界を、Res(⊕)証明サイズの下界に体系的に変換する方法を提供すること。
• ランダムな定数サイズ関数およびインデキシング、内積、メジャリティといった標準的なガジェットがスティーリング性を満たす場合、それらがリフトに十分であることを示すこと。

提案手法

• k-スティーリングの概念を導入：ガジェットgがk-スティーリングであるとは、任意のk変数と任意のターゲット値b ∈ {0,1}に対して、残りのm−k変数の固定により、gがbに固定されるようなものが存在すること。
• パリティ決定木のf ◦ gに対するシミュレーションアルゴリズムを開発。パリティ制約クエリと「間違った答え」の追跡を用いて、失敗を模倣する。
• パリティ制約クエリ⟨v, x⟩ =? aの形式の変更されたクエリモデルを用い、答えが「Right」または「Wrong」であるものとして、サブスペースクエリをコストと正しさを保ったままシミュレートする。
• シミュレートされた決定木のコストがPDTコストの1/k以下であることを証明し、シミュレートされたDTのサイズを用いてPDTサイズの下界を確立する。
• 非適応的およびtラウンドPDTに対してもこのシミュレーションを適用し、非適応的およびラウンド尊重型リフト定理がスティーリング条件のもとで成り立つことを示す。
• インデキシング（m=3）、内積（m=4）、メジャリティ（m=3）、およびランダム関数が小さなkに対してk-スティーリングであることが分かっていることを利用し、広範な適用可能性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数サイズのガジェットを用いて、決定木複雑度からパリティ決定木サイズ複雑度へのリフト定理を達成できるか？
• RQ2 このようなリフトを可能にするガジェットの構造的性質は何か？ そして、自然で単純な関数がその性質を満たすか？
• RQ3 スティーリング性を用いて、Res(⊕)証明系における証明サイズの新たな下界を導出できるか？
• RQ4 このシミュレーション技法は非適応的およびラウンド制限付きPDTに拡張可能か？ もしそうなら、通信複雑性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• k-スティーリングガジェットgは、PDTsize(f ◦ g) ≥ 2^{DT(f)} · kを保証し、定数サイズのガジェットを用いた強力なリフト結果を確立する。
• 3ビットのインデキシング関数、4ビットの内積関数、3ビットのメジャリティ関数、およびランダム関数は、小さなkに対してすべてk-スティーリングであることが示され、リフトに適している。
• シミュレーションアルゴリズムは、任意のf ◦ gのPDTを、PDTコストの1/k以下のコストを持つ決定木に正しく変換でき、これにより下界が証明される。
• 本手法により、定数幅のCNF式における解像度証明幅の下界を、Res(⊕)証明サイズの下界に体系的にリフトする最初の方法が得られた。
• 非適応的およびtラウンドPDTに対してもリフト定理が成り立つ：NAPDT(f ◦ g) ≥ NADT(f) · kであり、ラウンド尊重型の下界も同様のスティーリング条件のもとで成立する。
• 従来の確率的リフト定理が対数サイズのガジェットを必要としていたのに対し、本結果は決定木複雑度と定数サイズのガジェットを用いることで、通信複雑性における主要な未解決問題を解決している。