[論文レビュー] Lifting up the proof theory to the countables : Zermelo-Fraenkel set theory

Toshiyasu Arai|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2011

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ひとこと要約

この論文は、非有効な順序数解析をZermelo-Fraenkel集合論（ZF）に導入し、非可算順序数を可算順序数へ写像する崩壊関数を定義することで、ZF+(V=L)で証明可能な定義可能な可算順序数の証明論的上限として、順序数 $Ψ_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$ を特定する。解析は、演算子制御された導出とスコーレムハルを用いて、カット除去を形式化し、一階条件を満たす集合が存在する構成的階層のレベルにおける境界を導出する。

ABSTRACT

We describe the countable ordinals in terms of iterations of Mostowski collapsings. This gives a proof-theoretic bound of definable countable ordinals in the Zermelo-Fraenkel's set theory ZF.

研究の動機と目的

• recursiveな順序数からZF集合論における可算順序数への再帰的証明論的技法の拡張を図ること。
• ZF+(V=L)における定義可能な可算順序数の複雑さを制限する非有効な順序数解析を提供すること。
• 一階条件を満たす集合が存在する構成的階層 $L_\alpha$ の特定のレベルにおける存在を形式化すること。
• ZF+(V=L)で証明可能な一階論理式を満たす任意の実数は、ある $n<\omega$ に対して $L_{\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)}$ 内に既に存在しなければならないこと。

提案手法

• 非可算正則基数 $\kappa \leq I$ に対して、$\varepsilon_{I+1}$ より小さい順序数を $\kappa$ より小さい順序数へ写像する崩壊関数 $\Psi_{\kappa,n}\alpha$ を導入する。
• スコーレムハル $Cl(X;\mathcal{F})$ を用いた演算子制御導出により、導出内の順序数を制御し、定義可能な関数についての閉包を保証する。
• カット除去をシミュレートし、証明の複雑さを追跡するための証明系の階層 $({\cal H}_{b+1,n}, \omega_1, n) \vdash^c_0 \Gamma$ を適用する。
• $\Sigma_{n+1}$-定義可能な述語を用いて、崩壊関数の像を特徴付け、$\text{FiX}^i(\text{ZFL})$ における形式化可能性を保証する。
• $\Sigma_1$ および $\Sigma_n$ の推論における有界性と真偽保存性の原則を用いて、カットのない導出が $L_I$ で真であることを保証する。
• ZF+(V=L)の証明論的強度を、$n<\omega$ における $\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)$ の上限に還元し、$\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$ を臨界的な境界とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZF+(V=L)における定義可能な可算順序数の証明論的上限は何か？
• RQ2 再帰的証明論的技法は、集合論における非再帰的・可算な設定へと拡張可能か？
• RQ3 演算子制御導出とスコーレムハルを用いて、一階条件を満たす集合が存在する構成的階層のレベルをどのように制限できるか？
• RQ4 崩壊関数 $\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)$ は、ZF+(V=L)で証明可能なすべての可算順序数を捉えられるか？
• RQ5 カットのない導出の深さは、$\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$ の観点から有界にできるか？

主な発見

• 順序数 $\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1} = \sup_n \{ \Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1) \}$ は、ZF+(V=L)で証明可能な可算順序数の最小上界である。
• 任意の $\Sigma_{n_0}$-論理式 $\varphi(x)$ に対して、ZF+(V=L)が $\exists x \in L_{\omega_1} \varphi(x)$ を証明するならば、ある $n<\omega$ に対して $\exists x \in L_{\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)} \varphi(x)$ も証明可能であり、$n$ は証明の複雑さに依存する。
• すべての $\alpha < \varepsilon_{I+1}$ に対して、$\Psi_{\kappa,n}\alpha$ は $\text{ZF}+(V=L)$ で $\Sigma_{n+1}$-定義可能であり、$\text{ZF}+(V=L)$ はすべての $\alpha < \omega_k(I+1)$ に対してその値の存在を証明する。
• 証明系 $({\cal H}_{b+1,n}, \omega_1, n) \vdash^c_0 \Gamma$ はカット除去をシミュレートし、カットのない方法で $\Gamma$ を導出するために用いられ、$c = \varphi\beta\beta$ かつ $\beta = \Psi_{\omega_1,n}(b)$ である。
• 全導出は $\text{FiX}^i(\text{ZFL})$ に形式化可能であり、これは ZF+(V=L) の制限付き排中律を備えた保存的拡張であるため、結果が理論内での証明可能であることが保証される。
• 証明のゴーデル番号からカットのない導出の深さへの写像 $H(g)$ は、ZF+(V=L) で全関数として証明可能ではなく、$H \notin L_{\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}}$ であるため、その成長は体系の証明論的強度を超える。