[論文レビュー] Lifts, Discrepancy and Nearly Optimal Spectral Gaps

Yonatan Bilu, Nati Linial|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2003

Graph theory and applications参考文献 6被引用数 52

ひとこと要約

本稿では、2-リフトを活用して、ほぼ最適なスペクトルギャップを有するd-正則グラフを構成する多項式時間アルゴリズムを提案する。すべての最大次数dのグラフに対して、2-リフトを施した際に、すべての新しい固有値がO(√d log³d)の範囲内に収まることが証明され、従来の境界を改善し、Alon-Boppana境界に近づく。主な技術的ツールは、行l1ノルムとサポートが互いに素なベクトルの比を用いた対称行列のスペクトル半径の上限評価である。

ABSTRACT

Let G be a graph on n vertices. A 2-lift of G is a graph H on 2n vertices, with a covering map π: H → G. It is not hard to see that all eigenvalues of G are also eigenvalues of H. In addition, H has n “new” eigenvalues. We conjecture that every d-regular graph has a 2-lift such that all new eigenvalues are in the range [−2 √ d − 1,2 √ d − 1] (If true, this is tight, e.g. by the Alon-Boppana bound). Here we show that every graph of maximal degree √ d has a 2-lift such that all “new ” eigenvalues are in the range [−c dlog 3 √ d,c dlog 3 d] for some constant c. This leads to a polynomial time algorithm for constructing √ arbitrarily large d-regular graphs, with second eigenvalue O ( dlog 3 d). The proof uses the following lemma (Lemma 3.3): Let A be a real symmetric matrix such that the l1 norm of each row in A is at most |xAy| d. Let α = maxx,y∈{0,1} n,supp(x)∩supp(y)= ∅ ||x||||y||. Then the spectral radius of A is at most cα log(d/α), for some universal constant c. An interesting consequence of this lemma is a converse to the Expander

研究の動機と目的

• d-正則グラフにおける2-リフトの存在を確立し、それがスレーティングギャップのAlon-Boppana下界にほぼ達するようにすること。
• 任意に大きなd-正則グラフを、第二固有値がO(√d log³d)で抑えられる多項式時間アルゴリズムを構築すること。
• l1行ノルムとサポートが互いに素なベクトルの比に基づいた、対称行列の新しいスペクトル半径の上限評価を証明することにより、リフトされたグラフにおける固有値の制御を可能にすること。

提案手法

• n-頂点グラフGから2n-頂点グラフHを2-リフトにより構成し、Gのすべての固有値を保持するとともに、n個の新しい固有値を導入する。
• 実対称行列Aのl1行ノルムが有界である場合、スペクトル半径がcα log(d/α)未満であるという重要な補題を適用する。ここでαは、supp(x) ∩ supp(y) = ∅ を満たすx,y ∈ {0,1}^n における||x|| ||y|| / ||x|| ||y|| の最大値である。
• α = max_{x,y ∈ {0,1}^n, supp(x) ∩ supp(y) = ∅} ||x|| ||y|| / ||x|| ||y|| と定義し、行列内の構造的スパarsityを捉える。
• 補題を用いて2-リフトにおける新しい固有値を評価し、ある定数cに対して[−c d log³√d, c d log³d]の範囲内に収束することを示す。
• 固有値の境界を制御しながら2-リフト構成を繰り返し適用することで、多項式時間アルゴリズムを構築する。
• 境界を活用して、任意のd-正則グラフに対して、すべての新しい固有値がO(√d log³d)に収まる2-リフトが存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのd-正則グラフに対して、2-リフトを施した際にすべての新しい固有値がO(√d log³d)の範囲内に収まるようにできるか？ これはAlon-Boppana境界に近づく。
• RQ2 l1行ノルムが有界で、スパースなサポート構造を持つ対称行列に対して、どのようなスペクトル半径の上限が得られるか？
• RQ3 第二固有値がO(√d log³d)であるd-正則グラフを構築する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 l2ノルムの比αが、対称行列のスペクトル半径にどのように関係するか？
• RQ5 スペクトル半径に関する補題を用いて、グラフリフトにおけるほぼ最適なスペクトルギャップを証明できるか？

主な発見

• すべてのd-正則グラフに対して、2-リフトを施すことで、すべての新しい固有値の絶対値がO(√d log³d)で抑えられ、Alon-Boppana下界に近づく。
• 新しいスペクトル半径の上限が証明された：実対称行列Aのl1行ノルムがd未満である場合、スペクトル半径はcα log(d/α)未満である。ここでαは、サポートが互いに素な0-1ベクトルのl2ノルム比の最大値である。
• この境界により、2-リフトを用いて第二固有値がO(√d log³d)に抑えられるグラフを構築可能であり、従来の結果を著しく改善する。
• この構成により、任意に大きなd-正則グラフを、近似的に最適なスペクトルギャップで生成する多項式時間アルゴリズムが得られる。
• 補題は、Expander Mixing Lemmaの逆を示しており、行列のスパarsityとスペクトル挙動の関係を結ぶ。
• 結果は対数要因の範囲でタイトであり、Alon-Boppana境界により、Ω(√d)が可能な最良のスペクトルギャップであることが示されている。