[論文レビュー] Lifts of spherical Morse functions

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、球面モーレス関数（正則ファイバーが互いに交わらない球面の直和であるモーレス関数）を、高次元ユークリッド空間における自己同相写像、埋め込み、および特別な一般写像に上げる、新しい上げ構成を導入する。主な貢献は、高次元における微分同相群の連結性とグロモル・フィルトレーションを用いて、同値でない2つの球面モーレス関数が、上げることで$C^{\infty}$同値な特別な一般写像をもたらす十分条件を特定することにある。

ABSTRACT

In studies of smooth maps with good differential topological conditions such as immersions, embeddings, Morse functions and their higher dimensional versions including fold maps and application to geometry, especially algebraic and differential topology of manifolds, liftings or desingulizations of maps of appropriate classes to other maps of other appropriate classes are fundamental and important. In this paper, we consider Morse functions such that inverse images of regular values are disjoint unions of spheres, which are extensions of Morse functions with just two singular points on homotopy spheres, and defined and studied by Saeki and Suzuoka in 2000s, and lift them to immersions, embeddings and special generic maps, which are regarded as higher dimensional versions of Morse functions with just 2 singular points before. In lifting smooth maps, we usually lift them to immersions or embeddings and in this paper, as new works, we consider lifts to special generic maps, whose codimensions are not positive. In addition, we construct most of lifts by new methods.

研究の動機と目的

• 球面モーレス関数（2つの特異点を持つモーレス関数の一般化）を、高次元の写像に体系的に上げるための方法を開発すること。
• モーレス関数および安定写像に対する既知の上げ結果を、球面ファイバーを持つ新しいクラスの写像に拡張すること。
• 同値でない球面モーレス関数の上げが、$C^{\infty}$同値な特別な一般写像をもたらす条件を特定すること。
• 特に、球面の微分同相群に関連して、このような上げによって保存される位相的および滑らかさの不変量を調査すること。
• 元の関数が同値でない場合でも、特別な一般写像への上げが同値類を保つための条件を確立すること。

提案手法

• 閉多様体から$\mathbb{R}^n$への滑らかな写像として球面モーレス関数を定義し、正則ファイバーが球面の直和となるようにする。
• 射影$\pi_{n+k,n}$を用いて、$f = \pi_{n+k,n} \circ f_k$を満たす$M \to \mathbb{R}^{n+k}$の上げ$f_k$を構成する。
• 折り目写像および安定写像の理論を用いて、上げられた写像が一般的で、特異集合が制御可能であることを保証する。
• ホモトピーと同倫変形の技法を用いて、$C^{\infty}$同値類を保ちつつ上げられた写像を変形する。
• $S^{m-1}$の向きを保つ微分同相群の連結性とグロモル・フィルトレーションを活用し、得られる特別な一般写像の同値性を制御する。
• ホモトピー球面との連結和と球面ファイバー上の微分同相変更を用いて、明示的な例を構成し、同値でない元の関数から同値な上げを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉多様体上の同値でない2つの球面モーレス関数が、上げられた際に$C^{\infty}$同値な特別な一般写像をもたらす条件は何か？
• RQ2 球面ファイバーの微分同相群の位相が、特別な一般写像への上げの$C^{\infty}$同値類にどのように影響するか？
• RQ3 元の関数が正則に同値でない場合でも、球面モーレス関数の特別な一般写像への上げを$C^{\infty}$同値にできるか？
• RQ4 $D^{m-1}$-微分同相写像のグロモル・フィルトレーション数は、$\mathbb{R}^n$への上げの同値類を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ホモトピー球面との連結和および微分同相変更は、上げられた写像の$C^{\infty}$同値性にどのように影響するか？

主な発見

• 次元$m > 6$の閉多様体上の正規球面モーレス関数で、特別な一般写像でなく、かつ$S^{m-1}$の向きを保つ微分同相群が連結でないものに対しては、それと正則に同値でない別の関数が存在する。
• 元の関数が同値でないにもかかわらず、それらの特別な一般写像への上げ（$\mathbb{R}^2$に倣って）は$C^{\infty}$同値である可能性がある。
• 任意の$n \geq 2$および$m \geq n$に対して、$D^{m-1}$-微分同相写像のグロモル・フィルトレーション数が$n-1$より大きいならば、$\mathbb{R}^n$への上げを$C^{\infty}$同値にできる。
• この構成は、球面ファイバー上の微分同相写像を連結和と同倫変形によって変更することに依存しており、最終的な特別な一般写像の$C^{\infty}$同値性を保つ。
• 微分同相写像を適切に選べば、それらが埋め込まれた円板上で恒等写像に拡張されるとき、得られる特別な一般写像は滑らかなホモトピーで同一となる。
• この手続きにより、元の関数が$C^0$同値であっても、それらの上げが$C^{\infty}$同値でないことがあることが示されたが、球面微分同相群の位相的制約のもとでは、上げられた写像において同値性が回復可能であることが明らかになった。