[論文レビュー] Lightlike foliations on Lorentzian manifolds with weakly irreducible holonomy algebra

Natalia I. Bezvitnaya|ArXiv.org|Jun 6, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、弱く完全に分解不能だが完全に分解不能でないホロノミー代数をもつローレンツ多様体上の光的分布にたいして、選択されたスクリーン分布から導かれるグローバル作用素を用いて、グローバル構造方程式を構築する。曲率テンソルをホロノミー代数の分類に適した4つの成分に分解し、それら作用素に基づく基準を提示することで、このような多様体のグローバルな幾何的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

We study the lightlike foliations that appear on Lorentzian manifolds with weakly irreducible not irreducible holonomy algebra. We give global structure equations for the foliation that generalize the Gauss and Weingarten equations for one lightlike hypersurface. This gives us some global operators on the manifold. Using these operators, we decompose the curvature tensor of the manifold into several components. We give a criteria how to find the type of the holonomy algebras (there are 4 possible types) in terms of the global operators.

研究の動機と目的

• 弱く完全に分解不能だが完全に分解不能でないホロノミー代数をもつローレンツ多様体のグローバル幾何的記述を、光的分布を用いて行う。
• 単一の光的超曲面にたいする局所的構造方程式（ガウスおよびヴァインガルテン）を、分布のグローバル設定に一般化する。
• 選択されたスクリーン分布を用いて多様体上にグローバル作用素を定義し、それらが幾何的および曲率的情報を符号化することを示す。
• 曲率テンソルを、その背後にあるホロノミー代数の構造を反映する成分に分解する。
• これらのグローバル作用素に基づいて、ホロノミー代数の型（1～4型）を特定する基準を確立する。

提案手法

• 本稿は、グローバルなスクリーン分布（または横断バンドル）を選択することで、ローレンツ多様体の接束の分解を導出し、グローバル構造方程式を構築する。
• 単一超曲面理論におけるそれらの一般化として、接続∇、形状作用素A、第二基本形式hなどのグローバル作用素を定義する。
• スクリーンおよび横断バンドルの分解を用いて、多様体の曲率テンソルをR₁、R₂、R₃、および∗Rの成分に分解する。
• ホロノミー表現論と弱く完全に分解不能なホロノミー代数の分類（1～4型）を用い、曲率成分とホロノミー代数の直交部分との関係を特定する。
• 曲率成分が平行移動に関して不変であり、ホロノミー型の変換則を満たすことを証明し、グローバル分類を可能にする。
• アーベル的ホロノミーをもつ局所的例を用いて形式主義を検証し、接続、第二基本形式、曲率成分の明示的表現を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く完全に分解不能だが完全に分解不能でないホロノミー代数をもつローレンツ多様体の幾何を、光的分布を用いてどのようにグローバルに記述できるか？
• RQ2 スクリーン分布の選択から生じるグローバル作用素は何か？ それらは古典的ガウスおよびヴァインガルテン方程式をどのように一般化するか？
• RQ3 曲率テンソルは、ホロノミー代数の構造を反映する成分にどのように分解できるか？
• RQ4 これらのグローバル作用素に基づいて、ホロノミー代数の型（1～4型）を特定する基準は何か？
• RQ5 幾何的構造の不変性を保証するために、スクリーン分布を一意に選ぶ標準的な方法はあるか？

主な発見

• 曲率テンソルは、R₁、R₂、R₃、および∗Rの4つの成分に分解され、それぞれが分布およびホロノミー構造の異なる幾何的側面を表す。
• 成分∗Rが恒等的に消えることと、ホロノミー代数が2型または4型であることとは同値であり、ホロノミー型を区別するための重要な不変量を提供する。
• アーベル的ホロノミー例では、形状作用素Aおよび第二基本形式hが恒等的に消えるため、スクリーン方向における平坦性が示唆される。
• アーベル的例では、R₃(N, X)Y = −(1/2)∂²f/∂xⁱ∂xʲ ∂/∂x⁰ が成り立ち、ヌル方向における非自明な曲率が示される。
• グローバル作用素はホロノミー型の変換則を満たし、平行移動に関して一貫性を保ち、ホロノミー型の分類を可能にする。
• 本稿は、特に1型および3型と2型および4型を区別し、さらに3型と4型を区別する基準を含めて、ホロノミー代数の型（1～4型）を完全に特定する基準を確立した。