[論文レビュー] Lightlike sets with applications to the rigidity of null geodesic incompleteness

I. P. Costa e Silva, José Luis Flores|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、低正則性を持つ光的部分多様体に適した、因果的でない集合の一般化である光的集合を導入し、最大コンパクトな表面を含むグローバルにハイパーボリックな時空における光的測地線の不完全性に関する剛性定理を証明する。主な結果は、2つの端を持つゼロスカラー曲率の漸近的に平坦な3–7次元初期データの真空コーシー発展は、光的測地線が不完全であるか、あるいは分岐するホライズンを有する、ということである。

ABSTRACT

An important, if relatively less well known aspect of the singularity theorems in Lorentzian Geometry is to understand how their conclusions fare upon weakening or suppression of one or more of their hypotheses. Then, theorems with modified concusions may arise, showing that those conclusions will fail only in special cases, at least some of which may be described. These are the so-called rigidity theorems, and have many important examples in the especialized literature. In this paper, we prove rigidity results for generalized plane waves and certain globally hyperbolic spacetimes in the presence of maximal compact surfaces. Motivated by some general properties appearing in these proofs, we develop the theory of lightlike sets, entities similar to achronal sets, but more appropriate to deal with low-regularity null submanifolds.

研究の動機と目的

• 特徴的な仮定（例えば閉じたトラップ表面の存在）が弱められたり排除されたりした場合、特異点定理の結論がどのように変化するかを分析することで、特異点定理の頑健性を理解すること。
• 境界外側にトラップされた表面（MOTS）または最大コンパクトな表面を含む時空が測地線的に完全である条件を調査し、完全性が成立する例外的な場合を同定すること。
• ローレンツ幾何学における新たな部分集合のクラスとして、因果的でない集合を一般化し、低正則性を持つ光的部分多様体の解析に適した光的集合の一般理論を構築すること。
• MOTS や最大表面が存在するにもかかわらず、光的測地線的に完全な時空の幾何学的構造を記述する剛性定理を確立すること。
• ゼロスカラー曲率の漸近的に平坦な初期データの真空コーシー発展は、ややきつい位相的および幾何的仮定のもとで、光的測地線的に不完全であるか、あるいは分岐するホライズンを有する必要があることを示すこと。

提案手法

• 光的集合の概念を導入・形式化する—時空の部分集合で、光的測地線が制御された方法で因果的過去や未来に入らないものであり、因果的でない集合の理論を低正則性を持つ光的部分多様体へと拡張する。
• ガウス–コダッチ方程式を用いて、初期データ超多様体の内面的幾何学と外在的曲率およびエネルギー運動量テンソルを関連づけ、真空の場合にはスカラー曲率がゼロであるリーマン多様体に帰着する。
• 最小曲面理論の結果（例えば、EichmairによるMOTSの存在定理）を適用し、2つの漸近的に平坦な端で囲まれたコンパクト領域において、初期データ多様体内に最小（平均曲率がゼロ）な超多様体が存在することを示す。
• グローバルにハイパーボリックな時空における空間的コーシー超多様体の非因果的性質を活用し、初期データの幾何的性質を時空全体の進化に移す。
• 初期データにコンパクトで埋め込まれた最小超多様体の存在を根拠に、定理VII.1を適用し、測地線の完全性が分岐ホライズンの存在または不完全性に結びつくことを示す。
• 基本群の写像の全射性などの位相的議論と、漸近的に平坦な端における平均曲率の幾何的推定を組み合わせ、コンパクト領域を囲む平均凸の球面の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MOTS や最大コンパクトな表面が時空に存在する場合、どのような条件下で光的測地線の不完全性が生じるか。
• RQ2 MOTS や最大表面を含んでも光的測地線的に完全なグローバルにハイパーボリックな時空が、どのような幾何学的または位相的特徴を持つ必要があるか。
• RQ3 因果的でない集合の概念を、低正則性を持つ光的部分多様体に対応させるにはどのように一般化できるか。また、そのような一般化された集合の基礎的性質は何か。
• RQ4 ゼロスカラー曲率の漸近的に平坦な初期データを有する真空時空において、測地線の不完全性の剛性を確立できるか。また、例外的な場合とは何か。
• RQ5 初期データのスカラー曲率と漸近的幾何が、コーシー発展が測地線的に完全であるか、分岐ホライズンを有するかを決定する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿では、3–7次元の漸近的に平坦な初期データセットに2つの端とゼロスカラー曲率を持つ真空コーシー発展が存在する場合、時空は光的測地線的に不完全であるか、あるいは分岐ホライズンを有する、という剛性定理を確立した。
• 初期データ多様体内にコンパクトで最小（平均曲率がゼロ）な超多様体が存在することは、漸近的に平坦な端の位相的および幾何的構造とMOTS存在定理の適用によって保証される。
• 各漸近的に平坦な端に平均凸の球面を構成することで、Eichmair (2013) の定理1.1の条件が満たされ、端によって囲まれたコンパクト領域の内部にMOTSが存在することが導かれる。
• 低正則性を持つ光的部分多様体の解析のための基盤的ツールとして、光的集合の理論が構築され、因果的でない集合を一般化し、今後の低正則性特異点定理への応用のための枠組みを提供する。
• この結果は、2次元を超える任意の時空次元で成り立ち、アインシュタイン方程式などの場の方程式を仮定する必要がないため、さまざまな幾何的設定において頑健である。
• 主な幾何的洞察は、漸近的平坦性、ゼロスカラー曲率、および2つの端の存在が、時空にトポロジカルかつ幾何学的な構造を強制し、その結果、測地線が不完全になるか、あるいは分岐ホライズンが形成されることをもたらすということである。