[論文レビュー] Likelihood based inference for high-dimensional extreme value distributions

Christian Y. Robert, Robert, Christian Y.|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、絶対連続なスペクトル測度を有する最大安定モデルを用いて、高次元極値分布の尤度に基づく推論手法を開発する。全尤度、複合尤度、しきい値切断、およびブロック最大値アプローチを、発生時刻情報と併せて提案し、推定量の漸近正規性を確立し、特に次元数が50に達するような高次元において、対比較尤度よりも優れた効率性をシミュレーションで示した。

ABSTRACT

Multivariate extreme value statistical analysis is concerned with observations on several variables which are thought to possess some degree of tail-dependence. In areas such as the modeling of financial and insurance risks, or as the modeling of spatial variables, extreme value models in high dimensions (up to fifty or more) with their statistical inference procedures are needed. In this paper, we consider max-stable models for which the spectral random vectors have absolutely continuous distributions. For random samples with max-stable distributions we provide quasi-explicit analytical expressions of the full likelihoods. When the full likelihood becomes numerically intractable because of a too large dimension, it is however necessary to split the components into subgroups and to consider a composite likelihood approach. For random samples in the max-domain of attraction of a max-stable distribution, two approaches that use simpler likelihoods are possible: (i) a threshold approach that is combined with a censoring scheme, (ii) a block maxima approach that exploits the information on the occurrence times of the componentwise maxima. The asymptotic properties of the estimators are given and the utility of the methods is examined via simulation. The estimators are also compared with those derived from the pairwise composite likelihood method which has been previously proposed in the spatial extreme value literature.

研究の動機と目的

• 高次元極値分布に対する尤度に基づく推論を発展させること、特に50変数以上を含む状況を想定すること。
• 高次元における全尤度の計算不能性に対処するために、複合尤度およびしきい値に基づくアプローチを提案すること。
• 空間的および金融的リスクモデリングの文脈において、提案された尤度手法と既存の対比較尤度推定量との間の効率性を比較すること。
• 正則性条件下で、提案された推定量の漸近正規性および一致性を確立すること。
• 絶対連続なスペクトル測度を有する最大安定モデルにおける全尤度および複合尤度の解析的表現を提供すること。

提案手法

• 絶対連続なスペクトル測度を有する最大安定分布の全尤度について、準明示的な解析的表現を導出する。
• 高次元の成分を部分群に分割することで計算複雑性を低減する複合尤度アプローチを提案する。
• 下側のマージナルしきい値以下の情報を保持しつつ極値構造を維持するため、切断を伴うしきい値ベースのアプローチを導入する。
• 成分毎の最大値の発生時刻を用いるブロック最大値アプローチを開発し、尤度を単純化し推定の効率を向上させる。
• 漸近理論を適用して、最尤推定量が漸近的に正規分布に従うことを示し、その分散・共分散行列はフィッシャー情報と正規化定数 V∗(θ;e) を含むことを示す。
• 全尤度、切断超過尤度、および成分毎の最大値尤度（発生時刻を伴う）について、明示的なスコア関数およびヘッセ行列を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対連続なスペクトル測度を有する高次元最大安定分布の全尤度は、どのように解析的に表現できるか？
• RQ2 高次元極値モデリングにおいて、複合尤度手法の全尤度に対する相対的効率はいかほどか？
• RQ3 発生時刻情報を併せ持つしきい値ベースおよびブロック最大値アプローチは、高次元極値推論における推定効率を向上させ得るか？
• RQ4 提案された尤度手法は、既存の対比較尤度推定量と比較して、バイアスおよび分散の点でどのように異なるか？
• RQ5 提案された尤度フレームワークから導出された推定量の漸近的性質は何か？

主な発見

• 提案された全尤度手法は、特に高次元において、対比較尤度よりも高い効率性を達成しており、切断複合尤度を用いる場合でも最小限の損失で実現される。
• 最尤推定量 ˆθk の漸近正規性が確立され、√k(ˆθk − θ0) が平均ゼロ、分散・共分散行列 V∗(θ0;e)I−1X∗(θ0) を持つ正規分布に分布収束することが示された。
• 発生時刻を伴う成分毎の最大値に基づく複合尤度アプローチは、有限標本における良好な性能と強い漸近的性質を示す。
• しきい値切断アプローチは、極値的および非極値的観測両方の情報を効果的に統合し、高次元設定における推定精度を向上させる。
• シミュレーション結果は、提案された尤度手法が、平均二乗誤差および収束速度の点で、既存の対比較尤度推定量を上回ることを確認した。
• 全尤度、censored exceedance likelihood、および成分毎の最大値尤度の3つのフレームワークについて、すべてのスコア関数およびヘッセ行列が明示的に導出された。これにより、効率的な数値最適化と推論が可能になった。