[論文レビュー] Limit and end functors of dynamical systems via exterior spaces

J.M. García-Calcines, L.Hernandez Paricio+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、外部空間を用いた関手的枠組みを提示し、吸収可能な開部分集合（r-外部集合）を用いて極限空間および終端空間を構成することで、力学系の長期的挙動を分析する。主な貢献は、局所コンパクトなT₃空間において、r-極限空間が周期的点の集合に等しく、bar-極限空間がω-極限集合の閉包に等しいことを証明することであり、カテゴリー理論を用いて位相的および力学的不変量を統一する。

ABSTRACT

In this paper we analyze some applications of the category of exterior spaces to the study of dynamical systems (flows). We study the notion of an absorbing open subset of a dynamical system; i.e., an open subset that contains the "future part" of all the trajectories. The family of all absorbing open subsets is a quasi-filter which gives the structure of an exterior space to the flow. The limit space and end space of an exterior space is used to construct the limit spaces and end spaces of a dynamical system. On the one hand, for a dynamical system two limits spaces $L^{ }(X)$ and $\bar L^{ }(X)$ are constructed and their relations with the subflows of periodic, Poisson stable points and $Ω^{ }$-limits of $X$ are analyzed. On the other hand, different end spaces are also associated to a dynamical system having the property that any positive semi-trajectory has an end point in these end spaces. This type of construction permits us to consider the subflow containing all trajectories finishing at an end point $a$. When $a$ runs over the set of all end points, we have an induced decomposition of a dynamical system as a disjoint union of stable (at infinity) subflows.

研究の動機と目的

• 外部空間を用いた力学系を研究するための圏論的枠組みの構築。
• r-外部部分集合から導かれる極限空間および終端空間を通じて、流れの長期的挙動の特徴付け。
• 周期的点やω-極限といった位相的不変量を、外部ホモトピー理論における関手的構成と関連付ける。
• 終端空間の点を用いた安定部分流れへの流れの分解を確立する。
• 適切なホモトピー理論からの圏論的道具を用いて、古典的力学系概念の一般化。

提案手法

• 将来の軌道をすべて含む吸収可能な開部分集合を用いてr-外部流れを定義する。
• r-外部集合Eに関する逆極限として極限空間$L^\mathbf{r}(X)$を構成し、その閉包の逆極限として$\bar{L}^\mathbf{r}(X)$を定義する。
• 外部空間の圏を用いて、極限空間および終端空間の関手を定義し、力学系の関手的取り扱いを可能にする。
• 外部ホモトピー理論の概念を応用して、位相空間の構造およびその漸近的挙動を分析する。
• r-外部集合の前線点を用いて、$\bar{L}^\mathbf{r}(X) \setminus L^\mathbf{r}(X)$内の点を特徴付ける。
• 局所コンパクト性および正則性を用いて、位相的性質を極限集合およびω-極限の閉包に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部空間の圏は、力学系の極限および終端挙動を関手的に記述するためにどのように利用可能か？
• RQ2 r-極限空間$L^\mathbf{r}(X)$と周期的点の部分流れ$P(X)$との関係は何か？
• RQ3 局所コンパクトなT₃空間において、bar-極限空間$\bar{L}^\mathbf{r}(X)$とω-極限集合の閉包$\overline{\Omega^\mathbf{r}(X)}$の関係は何か？
• RQ4 外部空間の終端空間は、無限大における安定部分流れへの流れの分解に利用可能か？
• RQ5 どのような位相的条件下で$\bar{L}^\mathbf{r}(X) = \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)}$が成立するか？

主な発見

• 局所コンパクトな$T_3$空間において、r-極限空間$L^\mathbf{r}(X)$は周期的点の部分流れ$P(X)$に等しい。
• 同じ条件下で、bar-極限空間$\bar{L}^\mathbf{r}(X)$はω-極限集合$\Omega^\mathbf{r}(X)$の閉包$\overline{\Omega^\mathbf{r}(X)}$に等しい。
• 局所コンパクトな$T_3$空間において、包含関係$P(X) \subset P^\mathbf{r}(X) \subset \Omega^\mathbf{r}(X) \subset \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)} = \bar{L}^\mathbf{r}(X)$が成立する。
• 点$x \in \bar{L}^\mathbf{r}(X) \setminus L^\mathbf{r}(X)$が存在するための必要十分条件は、r-外部集合$E$と時間$t$が存在して$t \cdot x \in \mathrm{Fr}(E)$となることである。
• もし$x \notin \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)}$ならば、$X \setminus \overline{V}_x$がr-外部となるような近傍$V_x$が存在し、これにより$x \notin \bar{L}^\mathbf{r}(X)$が示される。
• 局所コンパクトな正則空間において$\bar{L}^\mathbf{r}(X) \subset \overline{\Omega^\mathbf{r}(X)}$が成り立ち、$T_3$分離公理を満たすと等号が成立する。