[論文レビュー] Limit complexities revisited [once more]

Laurent Bienvenu, Andrej Muchnik+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アルゴリズム的ランダムネスとコルモゴロフ・コンプレックスィティの基本的結果を統一的かつ簡略化した証明を提供する。具体的には、条件付きプレーン複雑さ $ C(x|n) $ の上極限が $ \mathbf{0}' $-相対化されたプレーン複雑さ $ C^{\mathbf{0}'}(x) $ に等しいことを示し、この枠組みを prefix 複雑さ、事前確率、有効的に開集合、および極限頻度の結果へと拡張する。また、$ \mathbf{0}' $-計算可能性と列挙技術に基づく一様で洗練された議論により、既知の $ 2 $-ランダムネス基準を再帰的に回復する。

ABSTRACT

The main goal of this article is to put some known results in a common perspective and to simplify their proofs. We start with a simple proof of a result of Vereshchagin saying that $\limsup_n C(x|n)$ equals $C^{0'}(x)$. Then we use the same argument to prove similar results for prefix complexity, a priori probability on binary tree, to prove Conidis' theorem about limits of effectively open sets, and also to improve the results of Muchnik about limit frequencies. As a by-product, we get a criterion of 2-randomness proved by Miller: a sequence $X$ is 2-random if and only if there exists $c$ such that any prefix $x$ of $X$ is a prefix of some string $y$ such that $C(y)\ge |y|-c$. (In the 1960ies this property was suggested in Kolmogorov as one of possible randomness definitions.) We also get another 2-randomness criterion by Miller and Nies: $X$ is 2-random if and only if $C(x)\ge |x|-c$ for some $c$ and infinitely many prefixes $x$ of $X$. This is a modified version of our old paper that contained a weaker (and cumbersome) version of Conidis' result, and the proof used low basis theorem (in quite a strange way). The full version was formulated there as a conjecture. This conjecture was later proved by Conidis. Bruno Bauwens (personal communication) noted that the proof can be obtained also by a simple modification of our original argument, and we reproduce Bauwens' argument with his permission.

研究の動機と目的

• アルゴリズム情報理論における限界複雑さと $ \mathbf{0}' $-相対化複雑さに関する既存の証明を統合・簡略化すること。
• ヴェレシャギンの結果である $ \limsup_n C(x|n) $ と $ C^{\mathbf{0}'}(x) $ の関係を、低基底定理のような複雑な道具を避けて、直接的で初等的な証明を提供すること。
• 同じ証明技法を、prefix 複雑さ、二進木上の事前確率、および有効的に開集合の極限頻度といった他の設定へと拡張すること。
• $ \mathbf{0}' $-計算可能性と集合の列挙に基づく一様で構成的アプローチを用いて、既知の $ 2 $-ランダムネス基準を回復・再導出すること。

提案手法

• $ \mathbf{0}_{n} $、すなわち $ \mathbf{0}' $ オラクルの有限近似を用いて、条件付き複雑さ $ C(x|n) $ におけるオラクルアクセスをシミュレートし、十分に大きな $ n $ に対して $ C(x|n) \leq C^{\mathbf{0}'}(x) + O(1) $ が成り立つことを示す。
• すべての文字列 $ u $ を列挙する $ \mathbf{0}' $-計算可能なプロセスを構成し、十分に大きな $ n $ に対して $ C(u|n) < k $ を満たすようにする。この際、サイズ制約を満たすように「レイトル追加手順」を用いる。
• 同じ技法を用いて、$ \limsup_n C_{\text{pref}}(x|n) = C^{\mathbf{0}'}_{\text{pref}}(x) + O(1) $ を証明し、プレーン複雑さへの結果の拡張を実現する。
• $ \mathbf{0}' $-列挙を用いて、下位 $ \mathbf{0}' $-半再帰的関数 $ \varphi $ を構成し、$ \liminf f_n(x) \leq \varphi(x) $ かつ $ \int \varphi \leq \varepsilon' $ を満たすようにする。これにより、ファトウの補題を構成的に一般化する。
• 同様の手法を用いて、コンディスの定理（有効的に開集合の極限）を証明し、$ \mu(U_n) \leq 1/2 $ であっても、$ \mathbf{0}' $-有効的に開集合で測度 $ 3/4 $ のもので $ \liminf U_n $ を常に被覆することはできないことを示す。
• $ 2 $-ランダムネスの基準を導出する：$ \omega $ が $ 2 $-ランダムであるとは、任意の $ \omega $ の前缀 $ x $ が、$ C(y) \geq |y| - c $ を満たすような $ y $ の前缀であるような定数 $ c $ が存在することである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェレシャギンの結果における $ \limsup_n C(x|n) $ と $ C^{\mathbf{0}'}(x) $ の関係は、従来の方法よりも簡潔で直接的な証明で示せるか？
• RQ2 同じ証明フレームワークを、プレーン複雑さや prefix 複雑さといった、アルゴリズム的複雑さの異なるモデルに一貫して適用できるか？
• RQ3 limsup における条件付き複雑さを、$ \mathbf{0}' $-計算可能で構成的かつ一様に評価し、オラクル複雑さと関連付ける方法はあるか？
• RQ4 有効的に開集合の極限（コンディスの定理）に関する結果は、低基底定理を用いずに、列挙とオラクル技術のみで導出可能か？
• RQ5 ある列 $ \omega $ が、無限個の前缀 $ x $ に対して $ C(x) \geq |x| - c $ を満たすような正確な条件は何か？そしてこれは $ 2 $-ランダムネスとどのように関係するか？

主な発見

• $ C(x|n) $ の $ n $ における上極限が $ C^{\mathbf{0}'}(x) + O(1) $ に等しいこと、ヴェレシャギンの結果を新たな初等的証明で示した。
• 同じ手法により、$ \limsup_n C_{\text{pref}}(x|n) = C^{\mathbf{0}'}_{\text{pref}}(x) + O(1) $ が証明され、プレフィックス複雑さへの拡張が達成された。
• 論文は $ 2 $-ランダムネスの基準を確立した：$ \omega $ が $ 2 $-ランダムであるとは、任意の $ \omega $ の前缀 $ x $ が、$ C(y) \geq |y| - c $ を満たすような $ y $ の前缀であるような定数 $ c $ が存在することである。
• 有効的に開集合 $ U_n $ の列について、$ \liminf U_n $ は、$ \mu(U_n) \leq 1/2 $ であっても、$ \mathbf{0}' $-有効的に開集合で測度 $ 3/4 $ のもので常に被覆できるとは限らない。これは、有効的被覆の上限を鋭く示している。
• 有効的ファトウの補題が構成的に確立された：可算列 $ f_n $ が下位半再帰的関数であり、$ \int f_n \leq \varepsilon $ を満たすとき、任意の $ \varepsilon' > \varepsilon $ に対して、$ \liminf f_n \leq \varphi $ かつ $ \int \varphi \leq \varepsilon' $ を満たす下位 $ \mathbf{0}' $-半再帰的関数 $ \varphi $ を効果的に構成できる。
• 既知の $ 2 $-ランダムネス基準：$ \omega $ が $ 2 $-ランダムであるとは、ある $ c $ が存在し、無限個の前缀 $ x $ に対して $ C(x) \geq |x| - c $ が成り立つこと、が、主フレームワークの系として回復された。