[論文レビュー] Limit distribution with a combination of density functions for a 2-state quantum walk

Takuya Machida|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、整数直線上の時不均一な2状態量子ウォークを検討しており、ユニタリな時間発展演算子が周期的に交互に作用することにより、標準的な時均一ウォークでは見られない原点における局在化が可能となる。フーリエ解析と固有値分解を用いて、極限分布が密度関数の組み合わせとして得られ、周期的な発展演算子の交互作用に起因する非一様で多成分の確率密度を示すボールスティックな拡散が明示的に示された。

ABSTRACT

We consider 2-state quantum walks (QWs) on the line, which are defined by two matrices. One of the matrices operates the walk in certain intervals. In the usual QWs starting from the origin, localization does not occur at all. However, our walk can be localized around the origin. In this paper, we present some limit distributions for the walk.

研究の動機と目的

• 2つのユニタリ行列によって制御される時不均一な時間発展演算子に従う2状態量子ウォークの漸近的挙動を分析すること。
• 標準的な時均一ウォークとは異なり、このような時不均一モデルにおいて原点に局在化が生じるかどうかを調査すること。
• フーリエ解析を用いて、ウォークの位置分布の極限分布を複数の密度関数の組み合わせとして導出すること。
• 特に時刻 $(m+n)\tau + m$ の形をとる特定の時間スケールにおいて、ウォーク分布の収束定理を確立すること。
• 初期状態パラメータと発展演算子パラメータ（例：$\theta$）に依存する極限確率密度関数を特徴づけること。

提案手法

• ウォークは、$ℤ$ 上で定義され、2つのユニタリ行列 $U$ と $H$ を用い、時間間隔 $\tau+1$ ごとに発展演算子を $U$ と $H$ で交互に切り替える。
• 時間発展演算子のフーリエ変換を用いて振幅の時間発展を解析し、$\hat{U}(k) = R(k)U$ および $\hat{H}(k) = R(k)H$ を含むフーリエドメインにおける行列再帰関係を導出する。ここで $R(k)$ は位相シフト行列である。
• $\hat{U}(k)$ の固有値と固有ベクトルを用いて発展演算子を対角化し、時刻 $(m+n)\tau + m$ における振幅の明示的表現を可能にする。
• 時刻 $\tau \to \infty$ の漸近的挙動として、位置分布の $r$ 階モーメントを計算し、固有値ダイナミクスと遷移行列要素から主要項を導出する。
• 特性関数の極限をとることで極限分布を導出し、$f_K(x;c)$、$M_2(x)$、$B_2(x;n)$、$B_3(x;n)$ を含む重み付き成分の和として密度関数を特定する。
• 最終的な極限密度は、3つの成分の和として表現され、それぞれが主固有モードからの寄与と、$n/(n+2)$ および $(n+2)/(n-2)$ に比例するサブドミナント寄与に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時不均一な2状態量子ウォークにおいて、標準的な時均一ウォークとは異なり、原点に局在化が生じる可能性はあるか？
• RQ2 2つのユニタリ行列が周期的に交互に作用する場合、ウォークの位置分布の漸近的極限分布はどのような形か？
• RQ3 極限分布は初期状態 $[\alpha, \beta]^T$ とパラメータ $\theta$ にどのように依存するか？
• RQ4 極限分布が複数の密度関数の組み合わせとして表現可能か？ もし可能であれば、それらの関数形は何か？
• RQ5 モーメントのスケーリング挙動は何か？ また、それはウォークのボールスティック拡散とどのように関係するか？

主な発見

• 量子ウォークの極限分布は、時間発展演算子の異なる固有モード寄与に対応する3つの明確に区別できる密度成分の和として表現される。
• 主成分は $f_K(x;c) = \frac{|s|}{\pi(1-x^2)\sqrt{c^2 - x^2}}I_{(-|c|,|c|)}(x)$ に比例し、これは $|s|$ でスケーリングされた半円型密度関数である。
• 2つのサブドミナント成分は、混合固有ベクトル寄与に起因し、$B_2(x;n)$ および $B_3(x;n)$ に比例する重み付き密度関数として現れる。これらの関数は初期状態とパラメータ $n$ に依存する。
• 発展演算子の周期的交互作用に起因し、極限分布は非一様で多峰性の構造を示し、単一の単純な形ではなく、複数の密度関数の組み合わせとなる。
• 特性関数は、$n/(n+2)$ および $(n+2)/(n-2)$ に比例する異なるスケーリング因子を伴う、$f_K(x;c)$ のスケーリング版を含む3つの重み付き項の和に収束する。
• 時不均一な構造により、$U$ と $H$ の周期的交互作用が、時均一ウォークでは局在化を防ぐ対称性を破るため、原点における局在化が可能となる。