[論文レビュー] Limit Distributions and Sensitivity Analysis for Entropic Optimal Transport on Countable Spaces

Shayan Hundrieser, Marcel Klatt+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可算空間上での経験的エントロピー最適輸送の極限定理を確立し、輸送計画が中心を持つガウス過程に弱収束すること、および最適値が漸近的に正規分布に従うことの証明を行う。解析は、双対定式化と最適性条件を用いた感度解析に依拠し、基底コストとエントロピー正則化に結びついた重み付きBorisov-Dudley-Durst条件を導出する。

ABSTRACT

For probability measures supported on countable spaces we derive limit distributions for empirical entropic optimal transport quantities. In particular, we prove that the corresponding plan converges weakly to a centered Gaussian process. Furthermore, its optimal value is shown to be asymptotically normal. The results are valid for a large class of ground cost functions and generalize recently obtained limit laws for empirical entropic optimal transport quantities on finite spaces. Our proofs are based on a sensitivity analysis with respect to a weighted $\ell^1ehBnorm relying on the dual formulation of entropic optimal transport as well as necessary and sufficient optimality conditions for the entropic transport plan. This can be used to derive weak convergence of the empirical entropic optimal transport plan and value that results in weighted Borisov-Dudley-Durst conditions on the underlying probability measures. The weights are linked to an exponential penalty term for dual entropic optimal transport and the underlying ground cost function under consideration. Finally, statistical applications, such as bootstrap, are discussed.

研究の動機と目的

• 有限空間から可算状態空間へ、経験的エントロピー最適輸送の極限定理を拡張すること。
• 経験的エントロピー輸送計画が中心を持つガウス過程に弱収束することを確立すること。
• 一般の基底コスト関数のもとで、経験的最適輸送値の漸近正規性を証明すること。
• 重み付きℓ¹ノルムと双対定式化を用いた感度解析フレームワークを構築すること。
• 収束が成立するための条件（重み付きBorisov-Dudley-Durst）を導出し、重みがコストとエントロピー正則化にどのように関連するかを特定すること。

提案手法

• エントロピー最適輸送の双対定式化を用いて、経験測度に関する感度を分析する。
• エントロピー輸送計画の必要十分最適性条件を適用し、収束挙動を導出する。
• 指数的ペナルティ項と基底コスト関数から導かれる重みを用いた重み付きℓ¹ノルムを採用する。
• Borisov-Dudley-Durstに類似した条件の検証により、経験的輸送計画の弱収束を確立する。
• 同じ感度フレームワークと双対構造を用いて、最適値の漸近正規性を導出する。
• 導出された極限定理に基づくブートストラップ推論などの統計的応用を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算無限空間上での経験的エントロピー最適輸送計画は、漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ2 可算設定下での経験的最適輸送値の極限分布は何か？
• RQ3 重み付きℓ¹ノルムを用いた感度解析は、エントロピー最適輸送の収束条件を導出するのに利用可能か？
• RQ4 収束条件における重みは、基底コストとエントロピー正則化のどちらにどのように関連するか？
• RQ5 導出された極限定理は、ブートストラップ手順を含む統計的推論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 経験的エントロピー輸送計画は、可算空間上での中心を持つガウス過程に弱収束する。
• 一般の基底コスト関数のもとで、経験的最適輸送値は漸近的に正規分布に従う。
• 収束は、基底コストとエントロピーペナルティに由来する重み付きBorisov-Dudley-Durst条件によって支配される。
• 感度解析フレームワークは、エントロピー最適輸送の双対定式化と最適性条件に依拠する。
• 結果は、既存の有限空間における極限定理を可算ケースへ一般化する。
• 漸近正規性と収束構造の導出のおかげで、統計的応用（ブートストラップを含む）が可能になる。