[論文レビュー] Limit formulas for the normalized fundamental matrix of the northwest-corner truncation of Markov chains: Matrix-infinite-product-form solutions of block-Hessenberg Markov chains

Hiroyuki Masuyama|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、連続時間マーカフチェーンの西北隅切断に対する正規化された基本行列の極限公式を確立し、再発的かつ拡散条件のもとで、その極限がすべての行が定常分布ベクトルに等しい行列に収束することを示している。主な貢献は、これらの極限を用いて上三角および下三角ブロックヘッセンベルク型マーカフチェーンの定常分布に対する行列無限積（MIP）表現を導出することにある。

ABSTRACT

This paper considers the normalized fundamental matrix for the northwest-corner (NW-corner) truncation of ergodic continuous-time Markov chains, technically, of their infinitesimal generators. We first present a limit formula for the normalized fundamental matrix of the NW-corner truncation of the ergodic (infinitesimal) generator. The limit formula shows that, as the order (size) of the NW-corner truncation diverges to infinity, the corresponding normalized fundamental matrix converges to a stochastic matrix whose rows are all equal to the stationary distribution vector of the ergodic generator. Using the limit formula, we also derive the matrix-infinite-product form (MIP-form) solutions of the stationary distribution vectors of upper and lower block-Hessenberg Markov chains. In addition, from the MIP-form solutions, we develop numerically stable and easily implementable algorithms that generate the sequences of probability vectors convergent to the corresponding stationary distribution vectors of block-Hessenberg Markov chains.

研究の動機と目的

• 再発的連続時間マーカフチェーンの生成子の西北隅切断から得られる正規化された基本行列の漸近的挙動を分析すること。
• 正規化された基本行列が、すべての行が定常分布ベクトルに等しい行列に収束する十分条件を確立すること。
• 極限公式を活用して、上三角および下三角ブロックヘッセンベルク型マーカフチェーンの定常分布ベクトルに対する行列無限積（MIP）形式を導出すること。
• 切断された系の収束を用いて、レベル依存型 M/G/1 型および GI/M/1 型過程の定常分布の計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 対角正規化を用いて、NWコーナー切断生成子の逆行列の行確率的バージョンとして正規化された基本行列を定義する。
• 切り捨てサイズが増加するにつれて、正規化された基本行列がすべての行が定常分布ベクトル π に等しい行列に収束することを示す極限公式を確立する。
• フォスター＝リャプノフのドリフト条件を用いて、正規化された基本行列が定常分布に収束することを保証する。
• 上三角および下三角ブロックヘッセンベルク構造における正規化された基本行列の極限挙動を活用して、定常分布の行列無限積形式を導出する。
• 上三角型と下三角型マーカフチェーンの双対性を用いて、上三角型アルゴリズムを下三角型チェーンに拡張し、MIP解を得る。
• 収束する部分ベクトルの反復列を構築することで、全定常分布ベクトル π への数値的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再発的連続時間マーカフチェーンの西北隅切断に対する正規化された基本行列は、切り捨てサイズ n が無限大に近づくにつれて、すべての行が定常分布ベクトル π に等しい行列に収束するか？
• RQ2 切り捨てサイズを大きくする極限において、正規化された基本行列が定常分布に収束するための条件は何か？
• RQ3 極限公式を用いて、上三角および下三角ブロックヘッセンベルク型マーカフチェーンの定常分布に対する行列無限積（MIP）形式を導出可能か？
• RQ4 レベル依存型 M/G/1 型および GI/M/1 型過程の間の双対性をどのように活用し、正規化された基本行列の極限を用いて定常分布を計算できるか？

主な発見

• フォスター＝リャプノフのドリフト条件のもとで、切り捨てサイズ n が無限大に近づくにつれて、NWコーナー切断に対する正規化された基本行列は、すべての行が定常分布ベクトル π に等しい行列に収束する。
• 極限公式により、上三角ブロックヘッセンベルク型マーカフチェーン（すなわち、レベル依存型 M/G/1 型過程）の定常分布ベクトルに対する行列無限積（MIP）形式を導出可能である。
• 下三角ブロックヘッセンベルク型マーカフチェーン（すなわち、レベル依存型 GI/M/1 型過程）の MIP 形式は、双対性と上三角型解に基づく反復アルゴリズムを用いて得られる。
• 無限次元の生成子を考慮することで、正規化された基本行列が π に収束することが、有限の切り捨ての極限として確立される。
• 部分ベクトルの反復列を用いることで、ブロックヘッセンベルク型チェーンの定常分布ベクトルの数値的に安定かつ収束するアルゴリズムが提供される。