[論文レビュー] Limit free computation of entropy

Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、局所的に有限な群の自己準同型および完全不連結コンパクト群の連続的自己準同型の設定において、代数的エントロピーと位相的エントロピーを計算する極限を伴わない公式を提示する。主な貢献は、極限を避けるために群の位数の対数比としてエントロピーを表現する、新しい代数的公式の構築であり、これはアーベルの場合における代数的エントロピーと位相的エントロピーの双対性を直接示し、位相的エントロピーと自己準同型の有限深さとの明確な関係を確立する。

ABSTRACT

Various limit-free formulas are given for the computation of the algebraic and the topological entropy, respectively in the settings of endomorphisms of locally finite discrete groups and of continuous endomorphisms of totally disconnected compact groups. As applications we give new proofs of the connection between the algebraic and the topological entropy in the abelian case and of the connection of the topological entropy with the finite depth for topological automorphisms.

研究の動機と目的

• 非アーベル的かつ非コンパクトな設定において、代数的エントロピーと位相的エントロピーを計算する極限を伴わない公式を開発すること。
• 漸近的極限を取る必要がなくなる、極限に依存しない直接的なエントロピー表現を提供すること。
• ポントリャーギン双対性を介して、代数的エントロピーと位相的エントロピーの明確な関係を確立すること。
• 位相的自己準同型における有限深さの概念と位相的エントロピーの関係を明確にすること。
• 捩れアーベル群の単射自己準同型に対するユズヴィンスキーの公式の、多重度を含まない新しい証明を提示すること。

提案手法

• 局所的に有限な群 G における自己準同型 φ と有限部分群 F に対して、n 回目の φ-軌道 T_n(φ,F) を定義する。
• F に関する φ の代数的エントロピーを (log |T_n(φ,F)|)/n の極限として定義し、その極限が存在することを証明する。
• 極限を避ける公式を提案する：ker φ ∩ T(φ,F) が有限である場合に限り、H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))| − log|ker φ ∩ T(φ,F)| が成り立つ。
• 双対性を応用して、完全不連結コンパクト群上の連続的自己準同型 ψ に対して、H_top(ψ,U) = log|ψ⁻¹(C(ψ,U))/C(ψ,U)| − log|K/(Im ψ · C(ψ,U))| という対応する位相的公式を導出する。
• ポントリャーギン双対性を用いて代数的および位相的公式を結びつけ、ψ = φ̂ のとき h_alg(φ) = h_top(ψ) が成り立つことを証明する。
• 位相的公式を応用して、有限深さの自己準同型 ψ に対して h_top(ψ) = log(depth(ψ)) が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的エントロピーは、有限群の商や核の交わりのみを用いて、極限を取ることなく計算可能か？
• RQ2 アーベルの場合における代数的エントロピーと位相的エントロピーの明確な関係は何か？そして、多重度に依存せずに証明可能か？
• RQ3 位相的自己準同型における有限深さの概念は、位相的エントロピーとどのように関係するか？
• RQ4 極限を伴わないアプローチを用いて、単射でない自己準同型に対しても、ユズヴィンスキーの公式を一般化可能か？
• RQ5 画像や共軌道部分群などの群論的不変量を用いて、位相的エントロピーの直接的な公式は存在するか？

主な発見

• 代数的エントロピーの極限を伴わない公式が確立された：ker φ ∩ T(φ,F) が有限である場合に限り、H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))| − log|ker φ ∩ T(φ,F)| が成り立つ。
• 単射自己準同型の場合、これは H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))| に簡略化され、単射の場合にユズヴィンスキーの主張が裏付けられる。
• 対応する極限を伴わない位相的エントロピーの公式が導出された：K/(Im ψ · C(ψ,U)) が有限である場合に限り、H_top(ψ,U) = log|ψ⁻¹(C(ψ,U))/C(ψ,U)| − log|K/(Im ψ · C(ψ,U))| が成り立つ。
• 有限深さの位相的自己準同型 ψ の位相的エントロピーは、その深さの対数に等しい：h_top(ψ) = log(depth(ψ))。
• ポントリャーギン双対性を用いた直接的な双対性の証明により、ψ = φ̂ のとき h_alg(φ) = h_top(ψ) が成り立つことが示された。
• この結果から、ψ-共軌道が自明な無限コンパクト群では、位相的エントロピーが正であり、|ker ψ| > |coker ψ| を満たすことが導かれる。