[論文レビュー] Limit laws for occupation times of stable processes

David Nualart, Fangjun Xu|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、モーメント法を用いて、1次元対称1安定過程の滞在時間の2つの極限定理を確立する。正規化された加法的関数の収束が、明示的な定数を伴うスケーリングされた指数型または正規型混合分布に分布収束することを証明した。これらの定数はフーリエ解析と漸近的モーメント計算により導出された。これは局所時間の存在しない場合（α=1）を解消するものである。

ABSTRACT

We prove two limit laws for functionals of one dimensional symmetric 1-stable process using the method of moments, and give a remark on Rosen's paper \cite{Rosen}.

研究の動機と目的

• 局所時間の存在しない場合（α=1）における1次元対称1安定過程の加法的関数の極限定理を確立すること。
• α>1の場合に既に得られている結果を、標準的な局所時間技法が失敗する臨界ケースα=1に拡張すること。
• モーメント法を用いて、正規化された滞在時間の明示的な極限定理を導出すること。
• Rosen（1990）のα=1安定過程の極限定理における定数を、フーリエ解析とモーメント法を用いて再表現すること。
• 1安定過程の非半マルティンゲール性に対処するため、マリヤンヴィンカルキュイスのチェインジング・アーギュメントとフーリエ技術を適応すること。

提案手法

• 1安定過程の正規化された加法的関数の弱収束を証明するために、モーメント法を適用する。
• 特性関数およびスペクトル密度を含む積分のフーリエ変換技術と漸近的解析を用いる。
• 参考文献[12]にインspiredされた修正されたチェインジング・アーギュメントを用いて、滞在時間の高次モーメントを推定する。
• 時間領域および周波数領域における積分の漸近的挙動を分析し、特に指数的時間変換（t → e^{nt}）における滞在時間のスケーリングに注目する。
• 時間変数が小さいまたは大きい領域における積分のバインディングを用い、ロピタルの定理および支配収束定理を適用してモーメント収束を導出する。
• α=1では存在しないが、α>1における局所時間の連続性を参照として、極限挙動の動機づけに用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 fが有界で∫|xf(x)|dx < ∞を満たすとき、1安定過程X(s)に対して、正規化された滞在時間∫₀^{e^{nt}} f(X(s)) ds / n の極限定理は何か？
• RQ2 fが平均0で∫|xf(x)|dx < ∞を満たすとき、第二階層スケーリング∫₀^{e^{nt}} f(X(s)) ds / √n の漸近的挙動は何か？
• RQ3 Rosen（1990）のα=1における極限定理における定数を、フーリエ解析とモーメント法を用いて再表現できるか？
• RQ4 指数的時間変換（t → e^{nt}）は、α=1における収束の安定化にどのような役割を果たすか？
• RQ5 モーメント法は、1安定過程のような非半マルティンゲール過程に対し、どのように適応可能か？

主な発見

• fが有界で∫|xf(x)|dx < ∞を満たすとき、正規化された滞在時間(1/n)∫₀^{e^{nt}} f(X(s)) ds は、分布収束して(1/π)∫f(x)dx × Z(t)に収束する。ここでZ(t)はパrameter tの指数分布に従う確率変数である。
• fが平均0で∫|xf(x)|dx < ∞を満たすとき、正規化された関数(1/√n)∫₀^{e^{nt}} f(X(s)) ds は、正規分布の分散混合に分布収束する：C⁻¹/² × √Z(t) × η。ここでC = ∫|f̂(x)|²|x|⁻¹dxであり、ηは標準正規分布に従う確率変数である。
• 第二階層極限定理における定数は、|x|⁻¹で重み付けられたfのフーリエ変換のL²ノルムの形で明示的に与えられる。
• 第一階層極限定理において、正規化に1/log nを用いることでtに依存しない分布が得られ、対応する対数的スケーリング領域が示された。
• モーメント法は、1安定過程の非マルコフ的かつ非半マルティンゲール的性質に対しても効果的に機能し、マルティンゲール技法の限界を克服した。
• 本稿は、Rosen（1990）の定理1.1における定数について、フーリエ解析とモーメントに基づく漸近的解析を用いた代替的導出と表現を提供した。