[論文レビュー] Limit laws for transient random walks in random environment on $\z$

Nathanaël Enriquez, Christophe Sabot+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、漸近的平均速度がゼロである i.i.d. 確率環境における一次元非再帰的ランダムウォークのレベル $ n $ に到達するまでの hitting time の極限定常分布の完全な特徴付けを提供する。潜在的理論と過去の最小値を超える拡張の概念に基づく新しい手法を用いて、特にディリクレ分布環境ではパラメータがディガンマ関数およびベータ関数を用いて表現される、安定分布の指数および尺度パラメータの明示的公式が導出される。

ABSTRACT

We consider transient random walks in random environment on $\z$ with zero asymptotic speed. A classical result of Kesten, Kozlov and Spitzer says that the hitting time of the level $n$ converges in law, after a proper normalization, towards a positive stable law, but they do not obtain a description of its parameter. A different proof of this result is presented, that leads to a complete characterization of this stable law. The case of Dirichlet environment turns out to be remarkably explicit.

研究の動機と目的

• 非再帰的ランダムウォーク $ \mathbb{Z} $ 上で漸近的平均速度がゼロである場合の、レベル $ n $ への正規化された到達時間の極限定常分布が従う正の安定分布の完全な特徴付けを達成すること。
• 従来の研究が安定分布のパラメータを特定せずに弱収束を示したのに対し、その限界を克服すること。
• 従来の手法で用いられていた分岐過程の符号化に代わる、潜在的フラクチュエーションと過去の最小値を超える拡張の概念に基づく新しい解析的枠組みを構築すること。
• ディリクレ分布に従う遷移確率のケースにおいて、安定分布の尺度パラメータの明示的表現を提供すること。
• 臨界ケース $ \kappa = 1 $ への拡張を行い、対数補正項が現れる現象を解明すること。

提案手法

• 再帰的状況におけるシナモンの谷の概念に代わる、潜在的関数が過去の最小値を超える拡張に基づく「谷」の新しい概念を導入する。
• Iglehartの拡張高さの尾部分布に関する漸近的結果を用いて、高さの大きな拡張を通過するのに要する時間を分析する。
• 到達時間 $ \tau(n) $ が、互いに十分に分離された高さの大きな拡張を通過する時間の和によって漸近的に支配されることを確立し、独立同分布の寄与が得られることを示す。
• 単一の拡張における通過時間の尾部挙動を、メアダーの関数の期待値として表現し、ケステンの再生定理定数 $ C_K $ と関連付ける。
• Chamayou と Letac (1994) の結果を応用して、遷移確率がベータ分布に従う場合に $ C_K $ を明示的に計算する。
• 正規化された到達時間 $ n^{-1/\kappa} \tau(n) $ のラプラス変換を導出し、指数 $ \kappa $ と明示的な尺度パラメータを持つ正の安定分布への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的平均速度がゼロである $ \mathbb{Z} $ 上の非再帰的ランダムウォークにおける到達時間 $ \tau(n) $ の極限定常分布を記述する正の安定分布の正確なパラメータは何か？
• RQ2 特定の環境、例えばディリクレ環境において、安定分布の尺度パラメータを明示的に計算できるか？
• RQ3 潜在的関数の構造とその拡張挙動は、安定分布への収束にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $ \kappa = 1 $、つまり強力な運動と部分的強力運動の間の臨界ケースにおいて、手法にどのような修正が必要か？
• RQ5 環境の確率的変動により、到達時間のクエンチド極限定常分布は安定しているのか、それとも変動するのか？

主な発見

• 正規化された到達時間 $ n^{-1/\kappa} \tau(n) $ は、分布収束して正の安定分布に、指数 $ \kappa $ を持つ。ここで、$ \kappa = \alpha - \beta $ であり、ディリクレ分布環境ではパラメータ $ \alpha, \beta > 0 $ を持つ。
• ディリクレ環境では、極限定常分布の尺度パラメータは明示的に $ 2^{\kappa} \frac{\pi \kappa^2}{\sin(\pi \kappa)} C_K^2 \mathbb{E}[\rho_0^\kappa \log \rho_0] $ として与えられる。ここで $ C_K = \frac{1}{(\alpha - \beta) B(\alpha, \beta)} $ である。
• ケステンの再生定理に現れる定数 $ C_K $ は、Chamayou と Letac の結果を用いて明示的に計算され、$ \sum_{k \geq 1} e^{V(k)} $ の尾部挙動と関連づけられる。
• $ n^{-1/\kappa} \tau(n) $ のラプラス変換は $ \exp\left\{ -C \lambda^\kappa \right\} $ に収束し、導出された尺度パラメータを持つ安定分布への収束を確認する。
• 臨界ケース $ \kappa = 1 $ において、本稿は Goldie の公式を用いて、$ X_n / (n / \log n) $ が確率的に $ \mathbb{E}[\rho_0 \log \rho_0]/2 $ に収束すると示唆する。
• 従来の分岐過程符号化に代わる、潜在的関数に基づく拡張解析の手法は、従来の手法が失敗した状況においても明示的なパラメータ計算を可能にした。