[論文レビュー] Limit Operators, Collective Compactness, and the Spectral Theory of Infinite Matrices

Simon N. Chandler‐Wilde, Marko Lindner|CentAUR (University of Reading)|May 2, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 96被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、一般化された集合的コンパクト作用素理論を構築し、その理論を無限行列および列空間上の作用素のスペクトル解析に応用することで、フレドホルム性、無限大における可逆性、および本質的スペクトルの新たな特徴づけを確立する。本稿は、すべての極限作用素の単射性（ファヴァール条件）が、ほぼ周期的作用素の広いクラスにおいて可逆性を示すこと、および $p=1$ と $p=\infty$ に対して完全な特徴づけを提供することにより、これらの極限ケースにおけるスペクトル理論の長年のギャップを解消する。

ABSTRACT

In the first half of this text we explore the interrelationships between the abstract theory of limit operators (see e.g. the recent monographs of Rabinovich, Roch & Silbermann and Lindner) and the concepts and results of the generalised collectively compact operator theory introduced by Chandler-Wilde and Zhang. We build up to results obtained by applying this generalised collectively compact operator theory to the set of limit operators of an operator $A$. In the second half of this text we study bounded linear operators on the generalised sequence space $\ell^p(\Z^N,U)$, where $p\in [1,\infty]$ and $U$ is some complex Banach space. We make what seems to be a more complete study than hitherto of the connections between Fredholmness, invertibility, invertibility at infinity, and invertibility or injectivity of the set of limit operators, with some emphasis on the case when the operator $A$ is a locally compact perturbation of the identity. Especially, we obtain stronger results than previously known for the subtle limiting cases of $p=1$ and $\infty$. Our tools in this study are the results from the first half of the text and an exploitation of the partial duality between $\ell^1$ and $\ell^\infty$. Results in this second half of the text include a new proof that injectivity of all limit operators (the classic Favard condition) implies invertibility for a general class of almost periodic operators, and characterisations of invertibility at infinity and Fredholmness for operators in the so-called Wiener algebra. In two final chapters our results are illustrated by and applied to concrete examples. Firstly, we study the spectra and essential spectra of discrete Schrödinger operators (both self-adjoint and non-self-adjoint), including operators with almost periodic and random potentials. In the final chapter we apply our results to integral operators on $\R^N$.

研究の動機と目的

• 無限次元作用素のスペクトル的性質を分析するための既存の枠組みを統合・拡張する一般化された集合的コンパクト作用素理論の構築。
• 有界線形作用素 $A$ について、$\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 上でのフレドホルム性、無限大における可逆性、および極限作用素の振る舞いとの包括的関係の確立、特に $p=1$ および $p=\infty$ の場合に焦点を当てる。
• バンド優勢およびウィーナ代数作用素のスペクトル理論に関する未解決の問題を解消すること、特に $p=1$ および $p=\infty$ の臨界ケースにおいて。
• 古典的なファヴァール条件（すべての極限作用素の単射性）が、広いクラスのほぼ周期的作用素において可逆性を示すという新たな証明を提供すること。
• 発展した理論を、離散シュレーディンガー作用素や $\mathbb{R}^N$ 上の積分作用素といった具体的な問題に応用し、明示的なスペクトルおよび本質的スペクトルの特徴づけを提供すること。

提案手法

• 弱収束および双対性を扱うために、$\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 上に厳密位相を導入し、特に $p=1$ および $p=\infty$ の場合に、より弱い位相に関して連続な作用素の解析を可能にする。
• 一般化された集合的コンパクト作用素理論を、与えられた作用素 $A$ の作用素スペクトル（すべての極限作用素の集合）に適用し、コンパクト性および収束性の性質が極限作用素集合へとどのように伝わるかの条件を確立する。
• $\ell^1$ と $\ell^\infty$ 間の双対性を用いて $p=1$ および $p=\infty$ の結果を導出し、$\ell^1$ の双対が $\ell^\infty$ であり、逆も同様であるという事実を活用し、厳密位相と結びつける。
• 極限作用素の集合の振る舞いを用いてフレドホルム性および無限大における可逆性を特徴づけ、$A$ がフレドホルムであるための必要十分条件が、すべての極限作用素が可逆であることであることを示す。
• バンド優勢およびウィーナ代数作用素に理論を適用し、ウィーナ代数の設定においてフレドホルム性がすべての極限作用素の可逆性と同値であることを証明する。
• $\mathcal{P}$-収束および極限作用素の概念を用いて本質的スペクトルを分析し、本質的スペクトルがすべての極限作用素のスペクトルの和集合の閉包に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファヴァール条件（すべての極限作用素の単射性）は、一般のほぼ周期的作用素のクラスにおいて可逆性を示すか。また、一般化された集合的コンパクト作用素理論を用いてその証明は可能か。
• RQ2 $\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 上の作用素のスペクトル的性質、特にフレドホルム性および無限大における可逆性は、$p=1$ および $p=\infty$ の極限ケースにおいてどのように振る舞うか。
• RQ3 定理 6.28 (iii) の一様有界性条件は、$p \in (1,\infty)$ の場合に冗長であるとされるが、その冗長性が、極限作用素のスペクトルの和集合が閉じていることを示唆するか。
• RQ4 極限作用素の理論を、$\mathcal{P}$-収束ではなく $s$-収束に基づく弱極限作用素に拡張可能か。また、その結果、豊富な作用素のクラスにどのような影響を与えるか。
• RQ5 $S(Y)$ と表される、逐次収束性を持つ作用素のイデアルは $L(Y)$ において逆元閉じているか。また、これと作用素スペクトルの構造とはどのように関係するか。

主な発見

• 本稿は、一般のほぼ周期的作用素のクラスにおいて、すべての極限作用素の単射性（ファヴァール条件）が可逆性を示すことを証明し、一般化された集合的コンパクト作用素理論を用いた新たな直接的証明を提供する。
• ウィーナ代数に属する作用素において、フレドホルム性はすべての極限作用素の可逆性と同値であり、本質的スペクトルはすべての極限作用素のスペクトルの和集合の閉包に一致する。
• 本稿は、$\ell^p(\mathbb{Z}^N, U)$ 上の作用素について、フレドホルム性および無限大における可逆性の完全な特徴づけを提供し、$p=1$ および $p=\infty$ の場合も含めて、これまで未解決であったケースを解消する。
• 著者らは、定理 6.28 (iii) の一様有界性条件が冗長であるとき、かつそのときに限り、集合 $\bigcup_{B \in \sigma^{\sf op}(A)} \mathrm{spec}(B)$ が閉じていることを示した。この結果は $p=1$ および $p=\infty$ に対して証明されている。
• $\ell^1$ と $\ell^\infty$ を厳密位相を介して結ぶ、双対性に基づく新しい手法が開発され、$p=1$ から $p=\infty$ への結果の拡張が可能になった。
• 理論は、ほぼ周期的および確率的ポテンシャルを有する離散シュレーディンガー作用素に成功裏に応用され、それらのスペクトルおよび本質的スペクトルの明示的特徴づけが得られた。