[論文レビュー] Limit order books, diffusion approximations and reflected SPDEs: from microscopic to macroscopic models

Ben Hambly, Jasdeep Kalsi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、拡散近似を介して、微視的限界注文書の力学から巨視的確率偏微分方程式（SPDE）へ厳密な数学的ブリッジを確立し、高頻度における注文書の挙動がスケーリング極限下で反射型SPDEに収束することを示している。主な貢献は、スタイリゼッド・マーケット特徴を捉え、実行戦略のテストが可能な確率的巨視的モデルを提供することにある。

ABSTRACT

Motivated by a zero-intelligence approach, the aim of this paper is to connect the microscopic (discrete price and volume), mesoscopic (discrete price and continuous volume) and macroscopic (continuous price and volume) frameworks for the modelling of limit order books, with a view to providing a natural probabilistic description of their behaviour in a high to ultra high-frequency setting. Starting with a microscopic framework, we first examine the limiting behaviour of the order book process when order arrival and cancellation rates are sent to infinity and when volumes are considered to be of infinitesimal size. We then consider the transition between this mesoscopic model and a macroscopic model for the limit order book, obtained by letting the tick size tend to zero. The macroscopic limit can then be described using reflected SPDEs which typically arise in stochastic interface models. We then use financial data to discuss a possible calibration procedure for the model and illustrate numerically how it can reproduce observed behaviour of prices. This could then be used as a market simulator for short-term price prediction or for testing optimal execution strategies.

研究の動機と目的

• 微視的、中間的、巨視的限界注文書モデルをゼロインテリジェンスフレームワークの下で統一すること。
• 注文の到着およびキャンセルレートを無限大に増加させる際の注文書過程の連続時間極限を導出すること。
• 巨視的極限が反射型SPDEによって記述されることを示し、市場マイクロ構造と確率的界面モデルを結びつけること。
• 実際の金融データを用いたキャリブレーション手順を提供し、実用的な市場シミュレーションを可能にすること。
• 検証されたモデルを用いて短期間の価格予測と最適実行戦略のバックテストを可能にすること。

提案手法

• 離散的な価格レベルと無限小の注文量を有する微視的モデルを用い、到着およびキャンセルレートを無限大にスケーリングする。
• 関数中心極限定理を適用して、連続的な量と離散的な価格を持つ中間的モデルを導出する。
• 刻みサイズがゼロに近づく極限をさらに取り入れ、連続的な価格と量の枠組みに至る。
• 空間時間ホワイトノイズによって駆動される反射型確率偏微分方程式の系として巨視的極限を導出する。
• スコロホド表現と弱収束技術を用いて、スケーリングされた過程の収束を証明する。
• 実証的金融データを用いてモデルをキャリブレーションし、観測された価格ダイナミクスとの数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高頻度スケーリング下で、刻みサイズと注文量がゼロに近づくとき、限界注文書過程は離散的から連続的価格および量の枠組みへどのように収束するか？
• RQ2 刻みサイズと注文量がゼロにスケーリングする際、注文書の極限SPDE記述は何か？
• RQ3 巨視的SPDEモデルは、観察された価格形成および注文フローのスタイリゼッド・ファクトを再現できるか？
• RQ4 実市場データにどのようにキャリブレーションすることで、実用的な市場シミュレーションに応用できるか？
• RQ5 確率的界面理論における反射型SPDEと限界注文書ダイナミクスとの間の関係は何か？

主な発見

• 注文の到着およびキャンセルの高頻度スケーリング下で、注文書過程の中間的極限は、結合された確率微分方程式（SDE）系に収束する。
• 巨視的極限は反射型SPDEによって記述され、これらは確率的界面モデルにおいて自然に出現し、注文書の非負性および境界挙動を捉えている。
• スケーリングされた微視的過程が巨視的SPDEモデルに収束することは、Cadlag経路の空間において法則の意味で確立されている。
• モデルは実際の金融データにキャリブレーション可能であり、観測された価格ダイナミクスおよび市場マイクロ構造の特徴の数値的再現が可能である。
• 得られたSPDEモデルは、短期間の価格予測および最適実行戦略のテストのための有効な市場シミュレータとして機能する。
• 収束結果は、遮断過程の関数空間上でのスコロホド表現および連続性の議論を用いて証明されている。