[論文レビュー] Limit properties of exceedances point processes of scaled stationary Gaussian sequences

Hashorva, Enkelejd, Zuoxiang Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、弱い自己相関とスケーリング分布のワイブル型尾部挙動を満たす確率的スケーリングを施した定常ガウス過程系列における超過点過程の極限分布を確立する。最大値と最小値が漸近的に独立であることを証明し、従来の縮小された系列に限られていた結果を、重尾スケーリングを伴う拡大された系列を含む一般化した。

ABSTRACT

We derive the limiting distributions of exceedances point processes of randomly scaled weakly dependent stationary Gaussian sequences under some mild asymptotic conditions. In the literature analogous results are available only for contracted stationary Gaussian sequences. In this paper, we include additionally the case of randomly inflated stationary Gaussian sequences with a Weibullian type random scaling. It turns out that the maxima and minima of both contracted and inflated weakly dependent stationary Gaussian sequences are asymptotically independent.

研究の動機と目的

• スケーリング分布の尾部にワイブル型の挙動を示す確率的スケーリングを施した定常ガウス系列に対する2変量超過点過程の弱収束を確立すること。
• 従来の結果は縮小された系列に限られていたが、重尾スケーリングを伴う確率的拡大された系列のケースを含めることでそれらを拡張すること。
• ベルマン条件のもとで、弱い自己相関を示すガウス系列の縮小および拡大の両ケースにおいて、最大値と最小値が漸近的に独立であることを証明すること。
• 上位および下位の順序統計量の同時極限分布解析を可能にする点過程フレームワークを構築すること。

提案手法

• ノルム化された列 $ u_n(x) = a_n x + b_n $ を用いて定義されるレベルを用いて、スケーリングされたガウス系列の極値をモデル化する2変量超過点過程フレームワークを用いる。
• 正の極値および負の極値の両方に対する高水準閾値を超える超過の同時極限分布を分析する点過程アプローチを適用する。
• 弱い自己相関と最大値のガブリエル分布への収束を保証するため、ベルマン条件 $ \lim_{n\to\infty} \rho(n) \ln n = 0 $ を課す。
• スケーリングされた確率変数 $ Y = S X $ の尾部挙動を分析し、漸近的尾部確率 $ \mathbb{P}(Y > u) \sim g(u) \exp(-T u^{2p/(2+p)}) $ を導出する。
• 重複する時間区間における超過の同時確率を制御するために、補題3.4および3.5を用い、時間集合のルベーグ測度を含む境界を用いる。
• 2変量点過程 $ \mathbf{N}_n $ が実数直線上で強度 $ \exp(-x) $ の混合ポアソン過程に弱収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリング分布がワイブル型尾部を示す場合、確率的スケーリングを施した定常ガウス系列の超過点過程は弱収束するか？
• RQ2 ベルマン条件のもとで、このようなスケーリングを施した系列の最大値と最小値は漸近的に独立か？
• RQ3 2変量点過程フレームワークを用いて、上位および下位極値の同時極限分布を特徴づけられるか？
• RQ4 スケーリング分布の尾部が有限端点を持つ場合と無限台を持つ場合とで、超過の漸近的挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 2変量超過点過程 $ \mathbf{N}_n $ は強度 $ \exp(-x) $ の混合ポアソン過程に弱収束する。これは、高水準閾値を超える超過回数がポアソン分布に収束することを意味する。
• ワイブル型スケーリングで $ x_F = \infty $ の場合、ベルマン条件のもとで、スケーリングされた系列の最大値 $ M_n $ は分布収束してガブリエル分布に近づく。
• 弱い自己相関を示すガウス系列の縮小および拡大の両ケースにおいて、最大値と最小値は漸近的に独立であり、古典的結果を確率的スケーリングの状況に一般化した。
• 正の極値および負の極値の両方に対する超過の同時極限分布は、周辺極限の積として特徴づけられ、漸近的独立性が確認された。
• 依存構造およびスケーリング分布の尾部挙動に関する緩い条件下でも収束が成立し、尾部における正規化関数の正則変動性を含む。
• 証明は、重複する超過事象の確率を時間区間のルベーグ測度を含む境界で制御することに依拠し、最終的な極限式 $ m(B_1) \exp(-x_1) + m(B_2) \exp(-x_2) $ が得られる。