[論文レビュー] Limit theorems for classical, freely and Boolean max-infinitely divisible distributions

Yuki Ueda|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、max-convolution における Belinschi-Nica 型半群を用いて、ブール-古典的 Bercovici-Pata 双対性の max 版を確立し、この半群の時刻1写像が、ブールおよび古典的 max 無限可分分布の極限定理を結びつけることを証明する。さらに、この半群が自由およびブールの max 無限可分分布を結びつけることを示し、新規の max-Belinschi-Nica 半群を通じて、古典的、自由、ブール確率論における極値極限定理を統一的に扱う。

ABSTRACT

We investigate a Belinschi-Nica type semigroup for free and Boolean max-convolutions. We prove that this semigroup at time one connects limit theorems for freely and Boolean max-infinitely divisible distributions. Moreover, we also construct a max-analogue of Boolean-classical Bercovici-Pata bijection, establishing the equivalence of limit theorems for Boolean and classical max-infinitely divisible distributions.

研究の動機と目的

• ブール-古典的 Bercovici-Pata 双対性を、max-無限可分設定へ、max 版 Belinschi-Nica 半群を用いて拡張すること。
• max での畳み込みに関する半群構造を通じて、古典的、自由、ブールの max 無限可分分布の極限定理を統一すること。
• 新規の max-Bercovici-Pata 双対性を用いて、ブールおよび古典的極値理論における極限定理の対応関係を確立すること。
• max-Belinschi-Nica 半群の時刻1写像が、自由およびブールの max 無限可分分布を結ぶ役割を明確にすること。

提案手法

• すべての $ t \geq 0 $ および $\mu \in \mathcal{P}^+$ に対して $\mathbf{B}_t^M(\mu) := (\mu^{\boxplus(1+t)})^{\uplus\frac{1}{1+t}}$ で定義される写像を用いて、max 版 Belinschi-Nica 半群を導入し、合成に関して半群をなすことを示す。
• 分布関数における max 畳み込み演算 $\lor$（古典的）、$\cup$（ブール）、および $\Box$（自由）を定義し、$F \lor G = FG$、$F \cup G = \frac{F}{1 - (1 - F)(1 - G)}$、$F \Box G = F \boxplus G$ が成り立つことを示す。
• すべての $x \geq 0$ に対して $\mathcal{X}(F)(x) = \frac{1}{2 - F(x)}$ で定義される写像 $\mathcal{X}: \Delta_+ \to \Delta_+$ を構成し、これはブール-古典的 max-Bercovici-Pata 双対性を表す。
• 時刻1写像 $\mathbf{B}_1^M$ が、ブール-自由 Bercovici-Pata 双対性の max 版と一致することを証明し、ブールおよび自由の max 無限可分分布を直接結びつける。
• 弱収束の議論と $F_n^{\lor k_n}$ および $F_n^{\Box \lor k_n}$ の漸近的挙動の分析を用いて、異なる畳み込みタイプにおける極限定理の同値性を確立する。
• 半群構造を応用して収束結果を導出：$F_n^{\lor k_n} \xrightarrow{w} F$ が成り立つための必要十分条件は $F_n^{\cup \lor k_n} \xrightarrow{w} \mathcal{X}^{-1}(F)$ であり、同様に $F_n^{\Box \lor k_n} \xrightarrow{w} \Lambda^\lor(F)$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブール-古典的 Bercovici-Pata 双対性を、半群枠組みを用いて max 無限可分設定へどのように拡張できるか？
• RQ2 max-Belinschi-Nica 半群の時刻1写像が、自由およびブールの max 無限可分分布を結ぶ役割を果たすのはどのような条件か？
• RQ3 古典的、ブール、自由の極値理論における極限定理を統一するための max 版 Bercovici-Pata 双対性を構成可能か？
• RQ4 自由 max 畝み込みにおける収束が、いつ古典的 max 畝み込みにおける収束を意味するか？
• RQ5 弱収束下で、$F_n^{\lor k_n}$、$F_n^{\cup \lor k_n}$、$F_n^{\Box \lor k_n}$ の漸近的挙動はどのように関係するか？

主な発見

• すべての $x \geq 0$ に対して $\mathcal{X}(F)(x) = \frac{1}{2 - F(x)}$ で定義される写像は、ブール-古典的 max-Bercovici-Pata 双対性を定義し、逆写像は $\mathcal{X}^{-1}(F)(x) = \frac{F(x)}{1 + F(x)}$ である。
• max-Belinschi-Nica 半群の時刻1写像 $\mathbf{B}_1^M$ は、ブール-自由 Bercovici-Pata 双対性と一致し、ブールおよび自由の max 無限可分分布を直接結びつける。
• 数列 $\{F_n\}$ および $\{k_n\}$ に対して、$F_n^{\lor k_n} \xrightarrow{w} F$ が成り立つための必要十分条件は $F_n^{\cup \lor k_n} \xrightarrow{w} \mathcal{X}^{-1}(F)$ であり、古典的およびブールの max 無限可分設定における極限定理の同値性を証明する。
• もし $F_n^{\Box \lor k_n} \xrightarrow{w} F$ で $F > 0$ が $[0,\infty)$ 上で成り立つならば、$F_n^{\lor k_n} \xrightarrow{w} \Pi_{1,F}^\lor = \mathcal{X}\left(\frac{1}{2 - F}\right)$ が成り立つ。これは、自由 max 極限定理が古典的 max 極限定理を含意することを示唆する。
• 半群 $\{\mathbf{B}_t^M\}_{t \geq 0}$ は $\mathbf{B}_t^M \circ \mathbf{B}_s^M = \mathbf{B}_{t+s}^M$ を満たし、合成に関して適切に定義された半群であることが確認される。
• $F_n^{\Box \lor k_n} \xrightarrow{w} \Lambda^\lor(F)$ が成り立つための必要十分条件は $F_n^{\lor k_n} \xrightarrow{w} \Pi_{1,F}^\lor$ である。自由および古典的 max 極限定理の完全な対応関係が確立される。