[論文レビュー] Limit theorems for iterated random topical operators

Glenn Merlet|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2005

Graph theory and applications参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、記憶消失性を満たす条件下で、(max,+)代数における反復確率的トロピカル作用素に対して、中心極限定理、局所中心極限定理、再生理論、大偏差原理を確立する。スペクトルギャップ法を用い、正規化された状態ベクトルが漸近的に独立同分布の確率変数の和に類似することを示し、(max,+)行列の場合に明示的な分散条件と一般性のある正定性を提示する。

ABSTRACT

Let A(n) be a sequence of i.i.d. topical (i.e. isotone and additively homogeneous) operators. Let $x(n,x_0)$ be defined by $x(0,x_0)=x_0$ and $x(n,x_0)=A(n)x(n-1,x_0)$. This can modelize a wide range of systems including, task graphs, train networks, Job-Shop, timed digital circuits or parallel processing systems. When A(n) has the memory loss property, we use the spectral gap method to prove limit theorems for $x(n,x_0)$. Roughly speaking, we show that $x(n,x_0)$ behaves like a sum of i.i.d. real variables. Precisely, we show that with suitable additional conditions, it satisfies a central limit theorem with rate, a local limit theorem, a renewal theorem and a large deviations principle, and we give an algebraic condition to ensure the positivity of the variance in the CLT. When A(n) are defined by matrices in the \mp semi-ring, we give more effective statements and show that the additional conditions and the positivity of the variance in the CLT are generic.

研究の動機と目的

• 反復確率的トロピカル作用素の確率的極限定理を確立すること。これらの作用素は、時刻付き回路、ジョブショップ、列車ネットワークなどのシステムをモデル化する。
• 独立同一分布のトロピカル作用素 $ A(n) $ によって生成される状態ベクトル $ x(n, x_0) $ の漸近的挙動を分析すること。特に、記憶消失性の下で考察する。
• 状態ベクトル $ x(n, x_0) $ が、レートを伴う中心極限定理、局所中心極限定理、再生理論、および大偏差原理を満たすことを証明すること。
• 中心極限定理における分散の正定性を保証する代数的条件を提示すること。特に、(max,+)行列の場合に焦点を当てる。
• 作用素が (max,+)半群における行列として表現される場合、追加の条件および分散の正定性が一般に成り立つことを示すこと。

提案手法

• 記憶消失性の下で、反復確率的トロピカル作用素の収束をスペクトルギャップ法を用いて分析する。
• 状態の漸近的挙動を、定数ベクトルによる平行移動の下での $ \mathbb{R}^d $ の商として得られる射影空間 $ \mathbb{PR}_{\max}^d $ を用いて研究する。
• 射影空間における収束を測るための距離 $ \delta(x, y) = \max_i(x_i - y_i) + \max_i(y_i - x_i) $ を用いる。
• 射影空間上に定義された不変測度 $ \nu $ の存在に依存し、$ \nu $-ほとんど everywhere で $ \max_i(Bx)_i - \max_i x_i = f(\overline{x}) - f(\overline{Bx}) $ を満たす有界リプシッツ関数 $ f $ の存在を仮定する。
• (max,+)の場合、臨界グラフ $ \mathcal{G}^c(A) $、巡回性 $ c(A) $、および $ \rho_{\max}(A) = 0 $ のとき $ A^n $ が周期的になること（周期 $ c(A) $）を用いる。
• 結果 [HH01] および [CDQV83] を応用して $ A^n $ の周期性およびスペクトル的性質を導出し、代数的整性を用いて $ \rho_{\max}(A) $ の有理数性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復確率的トロピカル作用素の状態ベクトル $ x(n, x_0) $ が中心極限定理を満たすための条件は何か？
• RQ2 このようなシステムにおける中心極限定理の収束速度は何か？
• RQ3 反復トロピカル作用素に対して、局所中心極限定理および再生理論をどのように確立できるか？
• RQ4 中心極限定理における分散の正定性を保証する代数的条件は何か？
• RQ5 (max,+)行列の場合に、極限定理に必要な追加条件が一般に成り立つか？

主な発見

• 正規化された状態ベクトル $ \frac{1}{n}x(n, x_0) $ はほとんど確実に定数 $ \gamma $ に収束する。この $ \gamma $ は、モデル化されたシステムにおけるスループットの逆数に相当する。
• 記憶消失性および追加の条件の下で、$ x(n, x_0) $ はレートを伴う中心極限定理を満たす。これは、ゆらぎが $ \sqrt{n} $ のスケールで増大することを意味する。
• 大偏差原理が成立する：$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln \mathbb{P}[\phi(x(n,x_0)) - n\gamma > n\epsilon] = -c(\epsilon) $ が成り立ち、ここで $ c $ は正のレート関数である。
• 局所中心極限定理が確立され、$ x(n,x_0) $ の確率密度関数が極限で滑らかな密度関数に収束することが示された。
• 再生理論が証明され、ダイナミクス下でのある集合への訪問回数の期待値の漸近的挙動が記述された。
• (max,+)行列の場合、極限定理に必要な条件は一般に成り立ち、中心極限定理における分散は一般に正である。代数的整性の下で、$ \rho_{\max}(A) \in a + \frac{b}{d!}\mathbb{Z} $ が成り立つ。