[論文レビュー] Limit Theorems for Multivariate Lacunary Systems

Thomas Löbbe|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2014

Analytic Number Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、$ (M_n) $ がハダマードギャップ条件を満たす高速増加する整数行列列であり、$ f $ が有界 Variation を持つ周期関数である形の多変数のラクナリー系 $ f(M_n \mathbf{x}) $ に対して、中心極限定理（CLT）および繰り返し対数法則（LIL）を確立する。著者らは、区分的定数周期関数に基づく新規なマルティンググ近似法を開発し、ベリー＝エッセン型不等式およびストラッセンの不変性原理を用いて、漸近的正規性および確実収束速度を証明する。これは、$ M_n $ および $ f $ に対して数論的・解析的条件が課された多変数設定に、古典的一次元結果を拡張したものである。主な貢献は、コサインの場合を除き、多変数ラクナリー系に対するCLTおよびLILの包括的かつ初の取り扱いである。

ABSTRACT

Lacunary function systems of type $(f(M_nx))_{n\geq 1}$ for periodic functions $f$ and sequences of fast-growing matrices $(M_n)_{n\geq 1}$ exhibit many properties of independent random variables like satisfying the Central Limit Theorem or the Law of the Iterated Logarithm. It is well-known that this behaviour depends on number theoretic properties of $(M_n)_{n\geq 1}$ as well as analytic properties of $f$. Classical techniques are essentially based on Fourier analysis making it almost impossible to use a similar approach in the multivariate setting. Recently Aistleitner and Berkes introduced a new method proving the Central Limit Theorem in the one-dimensional case by approximating $\sum_{n}f(M_nx)$ by a sum of piecewise constant periodic functions which form a martingale differences sequence and using a Berry-Esseen type inequality. Later this approach was used to show the Law of the Iterated Logarithm by a consequence of Strassen's almost sure invariance principle. In this paper we develop this method to prove the Central Limit Theorem and the Law of the Iterated Logarithm in the multidimensional case.

研究の動機と目的

• 一次元ラクナリー列から多変数設定への古典的中心極限定理および繰り返し対数法則の拡張、特に行列拡大列 $ f(M_n \mathbf{x}) $ を含む。
• これらの極限定理が高次元で成り立つために必要な $ (M_n) $ の行列列および周期関数 $ f $ の条件を同定すること。
• 多変数の場合における古典的フーリエ解析的手法の限界を克服するため、区分的定数関数およびマルティンググ差分に基づく新しい近似技術を導入すること。
• 指示関数の階層的分解と指数モーメント推定を用いて、$[0,1)^d$ 内の列 $ (M_n \mathbf{x}) $ の不一致に対する定量的評価を確立すること。

提案手法

• 和 $ \sum_{n=1}^N f(M_n \mathbf{x}) $ を、中心化され、マルティンググ差分列を形成する区分的定数周期関数 $ \phi_{J,h} $ で近似する。
• 単位立方体の階層的分割を用いて、$[0,1)^d$ 内の軸に平行なボックスの不一致を、部分集合 $ J \subset \{1,\dots,d\} $ および多重インデックス $ h $ でインデックス化された二分木レベルに分解する。
• 各 $ \phi_{J,h} $ の $ L^2 $-ノルムを、二分木構造と $ \beta $ の値を用いて評価し、$ 2^{-L} $ および $ 2^{-h_i} $ を含む推定を得る。
• パrameter $ \alpha = 4d + 6 $ を用いた、(4.3) に類似した修正版の指数モーメント不等式を適用し、$ \phi_{J,h} $ の部分和の尾確率を制御する。
• 行列ギャップ条件 $ \|M_n^T\|_\infty \geq q^k \|M_n^T\|_\infty $（$ k \geq \log_q(\|j\|_\infty) $）の構造を用いて、系に類縁な独立性の振る舞いを保証する。
• 各 $ 2^m $ および $ 2^l $ 長の区間における最大部分和の上限を、$ L^2 $-ノルムの減衰と対数因子を用いて評価することで、鍵となる不等式 (5.7) を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列列 $ (M_n) $ および周期関数 $ f $ にどのような条件下で、多変数ラクナリー和 $ \sum_{n=1}^N f(M_n \mathbf{x}) $ が中心極限定理を満たすか？
• RQ2 多変数ラクナリー系に対して繰り返し対数法則を確立できるか。また、$ (M_n) $ の数論的性質はその役割を果たすか？
• RQ3 特定の周期関数（例：$ f(x) = \cos(2\pi x) + \cos(4\pi x) $）ではCLTおよびLILが成立しない理由を高次元で説明し、回避可能か？
• RQ4 アイストライターおよびベルケスの一次元マルティンググ近似法を、二分木分解と指数モーメントの上限を用いて多変数に拡張可能か？

主な発見

• 有界変動周期関数 $ f $ および $ q > 1 $ を満たすハダマードギャップ条件を満たす $ (M_n) $ のもとで、多変数ラクナリー系 $ f(M_n \mathbf{x}) $ に対して中心極限定理が成立する。
• 同じ条件下で繰り返し対数法則が確立され、正規化された和の上極限が $ f $ の $ L^2 $-ノルムの定数倍にほとんど確実に収束する。
• 鍵となる技術的結果 (5.7) は、すべての $ J, h $ に対して一様に、近似関数 $ \phi_{J,h} $ の最大部分和が、高確率で $ 16C_1 \|\phi_{J,h}\|_2^{1/4} \sqrt{2 \cdot 2^m \log \log(2^m)} $ で抑えられることを示している。
• 最大不等式が失敗する例外的集合の測度は $ \varepsilon $ で抑えられ、これはすべての $ m \geq m_0 $ に対して一様であり、$ m_0 $ は $ \varepsilon $ および $ d $ のみに依存する。
• すべての二分木レベルおよびインデックス集合の和について、$ \sum_{J,h} \|\phi_{J,h}\|_2^{1/4} \leq C \cdot 2^{-L/8} $ が成り立ち、$ L \to \infty $ のときこの量は減少し、総誤差の収束を保証する。
• 証明により、$ f $ の全変動および $ (M_n) $ のディオファントス的構造――特に $ M_n j \pm M_{n'} j' = \nu $ の有界解――が、CLTおよびLILの成立に不可欠であることが示された。