[論文レビュー] Limit theorems for non linear (compound marked) Hawkes processes

Benjamin Massat|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2026

Point processes and geometric inequalities被引用数 0

ひとこと要約

論文は非線形複合マーク Hawkes過程の機能的中心極限定理を証明し、1-Wasserstein距離での収束速度の境界を提供する。

ABSTRACT

In this article, we fill a gap in the literature on Hawkes processes. In particular, we derive a CLT for a non linear compound marked Hawkes process. We also provide an upper bound on the convergence rate using the functional 1-Wasserstein distance. This result is obtained by discretizing the time line and reducing the problem to the quantification of the distance between finite marginal vectors, as well as between the discretized process and the original one.

研究の動機と目的

• 非線形マーク付き Hawkes過程の研究動機づけとこのモデルのCLT結果のギャップの識別。
• 非線形複合マーク Hawkes過程に対して空間 D([0,1], R) での機能的中心極限定理を確立。
• 1-Wasserstein距離を用いたBrownian極限への収束速度の定量的境界を提供。
• Poisson埋め込みと Malliavin-Stein 技法を組み合わせて収束速度境界を得る方法論的枠組みを構築。

提案手法

• 強度λを含む h, phi, b, g およびマーク X_i を含む非線形複合マーク Hawkes過程を定義。
• Poisson埋め込みと Poisson 空間上の Malliavin 微分を用いて確率微分計算ツールを導出。
• Nourdin–Peccati の方法論を適用して、1-Wasserstein距離境界を伴う D([0,1], R) での機能的CLTを得る。
• 時間を離散化して、離散化過程とBrownian極限を比較し、誤差を三段階で制御。
• 主結果 Theorem 3.1：Skorokhod位相での σ sqrt(m_g,2) B への分布収束と d_W(F^{(T)}, tilde{σ} B) の境界を証明。
• 中間結果として Theorem 3.3 の有限次元境界を示し、それが機能的境界へと導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核となる最小限の単調性仮定の下で、非線形複合マーク Hawkes過程に対して機能的中心極限定理を確立できるか。
• RQ2 正規化 Hawkes過程の機能に対する1-Wasserstein距離でのBrownian極限への収束速度はどれくらいか。
• RQ3 離散化はこれらの過程のfCLTにおける収束解析と誤差境界にどう影響するか。
• RQ4 g, b, phi, h のどのモーメント・正則性条件が、CLTに必要な有限モーメントと安定性を保証するか。
• RQ5 Poisson埋め込みとMalliavin-Stein法を組み合わせて非線形 Hawkes過程の定量的収束速度を得るにはどうすればよいか。

主な発見

• 非線形複合マーク Hawkes過程に対して D([0,1], R) で機能的中心極限定理を確立。
• 極限は分散 σ^2 m_g,2 を持つブラウン運動で、m_g,2 = int_R |g(x)|^2 dv(dx) および σ^2 = E[λ^infty_0]。
• 1-Wasserstein距離の具体的な上界を得る：d_W(F^{(T)}, tilde{σ} B) ≤ C ln(T) / T^{1/10}。
• 結果は核φや関数hの単調性を仮定しない点で従来の成果を拡張。
• 分析は Poisson埋め込みと Malliavin-Stein 法を Nourdin–Peccati フレームワークで組み合わせている。
• アプローチは時間を離散化し、三つの成分：離散化誤差、有限マージナル比較、Brownian近似によって距離を評価。