[論文レビュー] Limit theorems for power variations of ambit fields driven by white noise

Mikko S. Pakkanen|RePEc: Research Papers in Economics|Jan 10, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、空間時間ホワイトノイズによって駆動される2パラメータのアンビトフィールドのパワー変動に関する極限定理を確立し、カーネル関数の核の集中測度を用いた記憶構造に関する条件下で、関数的な大数の法則と安定中心極限定理を証明する。主な結果は、正規化されたパワー変動がボラティリティ場の積分関数型に収束することを示しており、離散的観測からの実現ボラティリティに関する統計的推論を可能にする。

ABSTRACT

We study the asymptotics of lattice power variations of two-parameter ambit fields driven by white noise. Our first result is a law of large numbers for power variations. Under a constraint on the memory of the ambit field, normalized power variations converge to certain integral functionals of the volatility field associated to the ambit field, when the lattice spacing tends to zero. This result holds also for thinned power variations that are computed by only including increments that are separated by gaps with a particular asymptotic behavior. Our second result is a stable central limit theorem for thinned power variations.

研究の動機と目的

• 空間時間ホワイトノイズによって駆動されるアンビトフィールドのパワー変動に関する関数的大数の法則を確立すること。
• カーネル関数の定量的記憶制約の下で、薄められたパワー変動に関する安定中心極限定理を導出すること。
• アンビトフィールドの離散格子観測に基づく実現ボラティリティ関数型の推定のための理論的基盤を提供すること。
• 通常および薄められたサンプリング方式の下でのパワー変動の漸近的挙動を特定すること。
• ガウス過程の既存の極限定理を、非マルコフ的かつ非ガウス的であるアンビトフィールドの枠組みに拡張すること。

提案手法

• 本研究は、確定的カーネルと確率的ボラティリティ場を用いたウィーナー積分によって定義される2パラメータアンビトフィールドの格子パワー変動を分析する。
• 収束解析は、カーネル関数に関連する集中測度を用いて記憶効果を制御するチャノン分解技術に依存する。
• 仮定2.8の下で、カーネルの可積分性および減衰性によって記憶が制限される条件下で、関数的大数の法則が導出される。
• より強い、定量的な記憶仮定（仮定2.11）の下で、条件付き中心極限定理の手法を用いて、安定中心極限定理が確立される。
• 収束は、Cadlag関数上のスコロホド位相で分析され、極限過程の連続性のため、一様収束が同値かつ十分であるとされる。
• 証明技法は、確率的ベクトルの同時収束を、σ代数に関する条件付き収束に結びつける安定収束補題を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホワイトノイズによって駆動されるアンビトフィールドの正規化されたパワー変動が、ボラティリティ場の決定的積分関数型に収束する条件は何か？
• RQ2 薄められたアンビトフィールドパワー変動に関して中心極限定理を確立できるか。また、極限分布の性質は何か？
• RQ3 カーネルの集中測度に符号化されたアンビトフィールドの記憶構造は、パワー変動の漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ4 格子の薄めが漸近理論において果たす役割は何か。収束速度および極限分布にどのように影響するか？
• RQ5 離散的観測によるアンビトフィールドの観測が、∫∫σ^p du dv 形式の実現ボラティリティ関数型を一貫して推定するためにどの程度利用可能か？

主な発見

• 仮定2.8の下で、アンビトフィールドの正規化されたパワー変動は、観測領域上の積分関数型 ∫∫σ^p du dv に確率的に収束し、関数的大数の法則を確立する。
• 薄められたパワー変動に関しては、仮定2.11の下で、正規化された変動は安定に法則に従い、条件付きガウス型の確率的場に収束し、極限はボラティリティ場およびカーネルの記憶構造に依存する。
• 収束は D([0,1]^2) 上のスコロホド位相で確立され、極限の連続性のため、一様収束が同値かつ十分である。
• 必要な集中測度条件を満たすカーネルの明示的例が提示されており、コンパクトな台を持つものや多項式的減衰を示すものも含まれる。
• 安定中心極限定理は、k_n / n → 0 かつ k_n → ∞ を満たす条件の下で成立する。ここで k_n は薄めの間隔を表し、漸近的独立性の増分を保証する。
• 理論的枠組みは、記憶制約が存在する中でも、アンビトフィールドの離散的格子観測からの実現ボラティリティの一貫した推定を支援する。